Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
конечно, не обязательно имеет одно из этих простых значений. Можно
показать, однако, что значение любого детерминанта инвариантно по
отношению к подобным преобразованиям. Рассмотрим для этого формулу (4.41)
для преобразованной матрицы А' и умножим её справа на В- Тогда будем
иметь:
А'В = ВА,
или, переходя к детерминантам:
I А' | • 1ВI = | В! ¦ | А | -
*) Имеется русский перевод: Б ох ер М., Введение в высшую алгебру, М. -
Л., Гостехиздат, 1933.
§ 4.4]
УГЛЫ ЭЙЛЕРА
123
Но так как детерминант В есть число, отличное от нуля*), то мы можем
разделить обе части этого равенства на | В | и тогда получим
|А'| = |А!>
что и требовалось доказать.
Позже, при рассмотрении движения твёрдого тела, все эти преобразования
матриц, в особенности ортогональные, найдут своё приложение. Кроме того,
нам потребуются некоторые другие соотношения, которые мы будем выводить
по мере необходимости.
§ 4.4. Углы Эйлера. Мы уже говорили, что так как элементы не являются
независимыми, то они не могут быть приняты за обобщённые координаты.
Поэтому для исследования движения твёрдого тела с помощью лагранжиана
необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих
ориентацию твёрдого тела. Только после того, как такие обобщённые
координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять
уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее
распространёнными и удобными из них являются углы Эйлера. Поэтому мы
дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них
выразить элементы матрицы ортогонального преобразования.
Переход от одной декартовой системы координат к другой может быть
выполнен посредством трёх последовательных поворотов, совершаемых в
определённом порядке. Тогда углы Эйлера определятся как три
последовательных угла соответствующих поворотов. Прежде всего начнём с
поворота начальной системы xyz вокруг оси z. Повернув её на некоторый
угол ср против хода часовой стрелки,
Рис. 42. Углы Эйлера.
*) Если бы этот детерминант был равен нулю, то не существовало бы
обратного оператора В-1 (это следует из правила Крамера) и равенство
(4.41) не имело бы смысла.
124
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. 4
мы перейдём к координатной системе ?т]С Полученную промежуточную систему
$т[С мы повернём затем вокруг оси %, совершив этот поворот против хода
часовой стрелки на некоторый угол 0. Тогда у нас образуется новая
промежуточная система - система Ось \ будет
при этом идти по линии пересечения плоскостей ху и \'ч{. Эта линия
называется линией узлов. Повернув, наконец, оси t'r'C вокруг оси С'
против хода часовой стрелки на угол ф, мы получим требуемую систему
x'y'z'. На рис. 42 эти повороты показаны в различных стадиях. Таким
образом, углы Эйлера 0, (r), ф полностью определяют ориентацию системы
x'y'z' относительно системы xyz. Поэтому они могут быть выбраны в
качестве обобщённых координат *).
Элементы полного преобразования А можно теперь получить, перемножая
матрицы трёх описанных вращений, каждая из которых имеет сравнительно
простой вид. Первый поворот, который совершается вокруг оси z,
описывается некоторой матрицей D, и поэтому можно написать:
S = Dx,
где | и х - матрицы, состоящие из одного столбца. Аналогично, переход от
системы к системе Ь'ч]%' описывается уравнением
Г = Cl-
где С - матрица этого преобразования. Наконец, последний поворот,
осуществляющий переход к системе x'y'z', описывается матрицей В, и
поэтому
х' = ВГ-
Следовательно, суммарное преобразование
х' = Ах
осуществляется матрицей А, равной
А = BCD-
Первое из рассмотренных преобразований представляет вращение
*) К сожалению, разные авторы по-разному определяют углы Эйлера. Различия
здесь не очень велики, однако они часто затрудняют сравнение получаемых
результатов, например элементов матрицы. Наибольшая путаница, по-
видимому, возникает из-за применения некоторыми авторами левой системы
координат (например, Осгуд, а также Маргенау и Мэрфи). Более часто,
однако, встречается другое отличие, состоящее в отсчёте угла линии узлов
не от оси х, а от оси у. Это особенно характерно для Британской школы
(Уиттекер, Ньюболт, Эйме и Марнафан) и связано с тем, что второй поворот
производится не вокруг оси ?, а вокруг оси ¦"]. Принятые нами углы у и ф
были бы тогда равны соответственно у -f- и ~ - ф. Иностранные авторы
обычно пользуются теми же углами, какими пользуемся и мы, но углы <р и ф
у них часто меняются местами. Этим, однако, ещё не исчерпывается
возможная путаница; так, например, многие авторы трудов по квантовой
механике отсчитывают углы поворота не против хода часовой стрелки, как
делаем это мы, а по ходу.
§ 4.5j ПАРАМЕТРЫ КЭЙЛИ КЛЕЙНА
вокруг оси z, и, следовательно, матрица его имеет вид
COS tp sin (r) 0
D = - sin tp COS tp 0
0 0 1
1 0 0
c = 0 cos 0 sin 0
0 - sin 0 cos 9
I cos ф sin ф 0
B = - sin 6 COS ф 0
1 0 0 1
i'25
(4.43)
[см. уравнение (4.17)]. Преобразование С представляет собой вращение
