Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
созданной только для того, чтобы установить соответствие между
определёнными классами квадратных матриц третьего и второго порядка.
Нельзя поэтому требовать или ожидать, чтобы такое пространство имело
свойства, подобные свойствам
Ф Ф
cos-g- -j-Z sin ~ О
О
| ei% О
Q2*= о
- 1 О О - 1
134
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 4
физического трёхмерного пространства. Нужно заметить, что изучению
свойств пространства uv математики уделяли значительное внимание;
двумерный комлексный вектор, построенный в этом пространстве, называют
спинором. Оказывается, что в квантовой механике спинорное пространство
несколько больше соответствует физической действительности; поэтому,
чтобы учесть влияние "спина" электрона, нужно его волновую функцию или
часть её представить в виде спинора. Действительно, половинные углы и
свойство двузначности внутренне связаны с тем фактом, что спин полуцелый
*). Впрочем, дальнейшее изложение этого вопроса увело бы нас слишком
далеко от классической механики.
§ 4.6. Теорема Эйлера о движении твёрдого тела. Материал предыдущих
параграфов даёт нам необходимый математический аппарат для описания
движения твёрдого тела. Мы знаем, что ориентация твёрдого тела в
некоторый момент времени может быть задана посредством ортогонального
преобразования, элементы которого можно выразить через подходящую систему
параметров. С течением времени ориентация этого тела будет меняться и,
следовательно, матрица преобразования будет функцией времени, что можно
записать в виде равенства А = А(0- Если оси, связанные с телом, выбраны
так, что при t~ 0 они совпадают с неподвижными осями, то в этот момент
преобразование будет тождественным, и мы будем иметь:
А (0) = 1.
В каждый следующий момент времени преобразование А (0 будет, вообще
говоря, нетождественным, и так как физически реальное движение должно
быть непрерывным, то матрица А(0 будет непрерывной функцией времени.
Таким образом, рассматриваемое преобразование будет начинаться с
тождественного и затем непрерывно изменяться.
При таком методе описания движения мы можем получить важные его
характеристики, пользуясь лишь развитым выше математическим аппаратом.
Одной из основных теорем здесь является так называемая теорема Эйлера,
согласно которой произвольное перемещение твёрдого тела, имеющего
неподвижную точку, можно осуществить посредством вращения вокруг
некоторой оси. Перейдём к её доказательству.
Если названную неподвижную точку принять за начало системы, связанной с
телом, то перемещение 'твёрдого тела не вызовет смещения связанных с ним
осей, а лишь изменит их ориентацию. Тогда согласно этой теореме систему
осей, связанных с телом, можно
*) Хотя волновая функция при вращении может быть двузначной, однако все
физические величины остаются, конечно, однозначными.
§ 4.6] ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА О ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА
135
в каждый момент времени t получить посредством одного поворота начальной
системы осей (которая совпадает с неподвижной системой координат). Иначе
говоря, операция, которую выражает матрица А. описывающая перемещение
этого твёрдого тела, является вращением. Но характерной чертой вращения
является то, что при этой операции не изменяется одно из направлений,
именно направление оси вращения. Поэтому любой вектор, направленный вдоль
оси вращения, должен в начальной и конечной системах координат иметь
пропорциональные составляющие. Другое необходимое условие,
характеризующее вращение, состоит в том, что величины преобразуемых
векторов при этом не изменяются. Это условие автоматически обеспечивается
условиями ортогональности и, следовательно, для доказательства теоремы
Эйлера достаточно показать, что существует вектор R, имеющий одинаковые
составляющие в обеих системах координат. Пользуясь матричной символикой,
можно, таким образом, написать
R' = AR = R- (4.73)
Это уравнение является частным случаем более общего уравнения
R' = AR = XR, (4.74)
в котором X - некоторая постоянная, возможно комплексная. Значения X, при
которых уравнение (4.74) имеет отличные от нуля решения, называются
характеристическими или собственными значениями матрицы А- Поэтому задачу
об отыскании векторов, удовлетворяющих уравнению (4.74) называют задачей
о собственных значениях данной матрицы. Векторы, удовлетворяющие этому
уравнению, называют собственными векторами матрицы А- Таким образом,
теорему Эйлера можно сформулировать в виде следующего утверждения: одним
из собственных значений вещественной ортогональной матрицы, определяющей
движение твёрдого тела с одной неподвижной точкой, всегда является -]- 1.
Уравнение (4.74) можно записать в виде
(А - Х1) R = 0, (4.75)
или
(ап-к) anY -f- anZ - 0, ^
fl21A-+(c22-X)K+c23Z = 0, } (4.76)
а^Х-\- а!2У-f-(а33 - X) Z = 0. )
Уравнения (4.76) представляют систему трёх однородных уравнений
относительно составляющих X, Y, Z собственного вектора R. Поэтому они
определяют эти составляющие лишь с точностью до их отношений. Физический
