Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
образования матрицы, детерминант которой равен -г3, и поэтому специальный
выбор такой матрицы является делом удобства. Матрица (4.58), которой мы
здесь пользуемся, соответствует той форме, которую обычно применяют в
квантовой механике.
§ 4.5]
ПАРАМЕТРЫ КЭЙЛИ КЛЕЙНА
131
например, при повороте на угол ср вокруг оси 2 мы для величин х+, х_ и д
будем иметь следующие формулы преобразования:
¦е~^х.
х_
2'
е~ 'f х
Сравнивая эти формулы с формулами (4.62), мы видим, что этот поворот
характеризуется следующими элементами матрицы Q:
у = 3 = 0, а2 - е*?, 82;
откуда
gi<P/2 О О е-<>/2
е-1<р,
СЦ =
(4.64)
Заметим, что элементы этой матрицы автоматически удовлетворяют условиям
(4.54), (4.55), (4,57).
Следующий поворот совершается вокруг новой оси х на угол Ь против хода
часовой стрелки. Определение соответствующих элементов матрицы
производится здесь аналогичным образом, но выкладки становятся при этом
более утомительными. Поэтому мы просто выпишем эту матрицу, которая
получается равной
Qe =
G 0
cos ~2 i sin 2
0 0
i sin 2 cos ~2
(4.65)
Для проверки этого достаточно убедиться в справедливости равенства
COS у I SH1 у
i sin у cosy
х
cos
-l sin
I sin -
cos •
2 w 2 2 cos 6 - у sin 0 x - i (y COS 3 -(- 2 sin 0) II
X + j(^cos0+2Sin0) -2 cos 0 -|- у sin 0 |j правая часть которого
описывает искомое преобразование х' = х,
у' = у cos 0 -f- 2 sin 0, z' - - у sin 0 -f- 2 COS 0.
Последний из поворотов, определяющий угол ф, совершается опять вокруг ОСИ
2, и поэтому
II е*+/2 о II
QHo e-ml <4'66>
132
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕДА
[ГЛ. 4
В § 4.4 мы получили ортогональную матрицу полного преобразования в виде
произведения матриц, соответствующих каждому из трёх этих поворотов. Но
мы знаем, что вещественные ортогональные матрицы третьего порядка
изоморфны с матрицами Q. Следовательно, матрица Q рассматриваемого
полного преобразования будет равна произведению Q^QeCL- Таким образом,
Q = QiQeCC =
е*4/2 о О е ~ гТ/2
cos у г sin у
0
cos у
I sin ¦
gt<f/2 О
О g-*?/2
или
Q =
ег (Фтф)/2С05 iei (ф-<р)/2 sin у
Л [g-i (ф-чО/З gjn e-i (ф + <р)/2 cos у
(4.67)
Следовательно, параметры Кэйли-Клейна выражаются через углы Эйлера
следующим образом:
а = ei ^ cos у,
J3 = ie% W'-'f)/2 sin о = e~i №+<f)/2cos
2 '
0_ 2 -
(4.68)
Y = (ф-ф)/2 sin у,
Заметим, что матрицу Р можно представить в виде суммы
Р = хва>-{-уау-\-гв1, (4.69)
0 - / I сг, = 1 0
1 0 * Z 0 -1
где qx, ау, az-так называемые спиновые матрицы Паули:
II 0 Ml
Зх = I 1 о I ' а,/
Эти матрицы вместе с единичной матрицей
1 О О 1
(4.70)
1
образуют систему четырёх независимых матриц. Поэтому любая квадратная
матрица второго порядка, содержащая четыре произвольные величины, может
быть представлена в виде их линейной комбинации. Матрицы Q,
соответствующие вращениям вокруг координатных осей, выражаются через эти
матрицы особенно просто. Например, матрицу Qe, соответствующую повороту
вокруг оси л: [формула (4.65)], можно записать в виде
§ 4.5]
ПАРАМЕТРЫ КЭЙЛИ КЛЕЙНА
133
Аналогично, для матрицы Q?, описывающей вращение вокруг оси г, будем
иметь
Легко видеть, что для вращения вокруг оси у получается матрица такого же
вида, как (4.72), но вместо а2 здесь будет стоять iy. Таким образом, все
матрицы элементарных вращений имеют аналогичные выражения, в которые
входят только единичная матрица 1 и соответствующие матрицы а. Поэтому
каждая спиновая матрица Паули связана с вращением вокруг некоторой оси и
может рассматриваться как оператор единичного поворота вокруг этой оси.
Характерной чертой параметров Кэйли - Клейна и содержащих их матриц
является постоянное присутствие в них половинных углов, и с этим связаны
некоторые специфические свойства пространства uv. Например, в обычном
пространстве поворот вокруг оси 2 на угол 2тг просто воспроизводит
первоначальную координатную систему. Если, например, в матрице D
предыдущего параграфа положить (r) = 2т, то будем иметь: cos ср = 1, sin(r) =
0, и D перейдёт в единичную матрицу Н, соответствующую тождественному
преобразованию. С другой стороны, если ту же подстановку сделать в
матрице Q? [формула (4.64)], то получим:
что равно - 1, а не 1. Однако единичная матрица второго порядка (матрица
1) тоже должна соответствовать трёхмерному тождественному преобразованию.
Следовательно, имеются две матрицы: 1 и - 1, соответствующие единичной
квадратной матрице третьего порядка. Вообще, если матрица Q соответствует
некоторой вещественной ортогональной матрице, то матрица - Q также будет
ей соответствовать. Таким образом, мы здесь имеем тот случай изоморфизма
между двумя системами матриц, при котором существует взаимно однозначное
соответствие между одной матрицей третьего порядка и парой матриц (Q, -
Q). а не одной матрицей Q. В этом смысле можно сказать, что матрица Q
есть двузначная функция соответствующей трёхмерной ортогональной матрицы.
Эта странность не нарушает наших общих построений. Как видно из
изложенного, пространство uv является чисто математической конструкцией,
