Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
А-1А = 1. (4.33)
что и доказывает коммутативность умножения матриц А и А-1. Рассмотрим
теперь двойную сумму
S ашчт-
к. г
120 КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. 4
Если вычислять её, суммируя сначала по k, а потом по I, то она примет вид
2 ^2 aklakij aij-
Если же производить суммирование в обратном порядке, то её можно будет
записать в виде
2 (2 akiaiJ^ akl•
Пользуясь условиями ортогональности [равенствами (4.15)], мы при первом
способе суммирования получим:
2 ^ilaij - alj•
С другой стороны, при втором способе суммирования мы на основании (4.30)
получим:
2 (r)kjakl ~ ajl'
Следовательно, элементы прямой матрицы А и обратной А-1 связаны
соотношениями
а'ц = а}1. (4.34)
Матрица, получаемая из А посредством замены строк столбцами, называется
транспонированной и обозначается через А- Таким образом, равенства (4.34)
показывают, что если матрица А является ортогональной, то обратная ей
матрица А-1 совпадает с транспонированной матрицей А- Если равенство
А-1 - А (4.35)
подставить в равенство (4.33), то будем иметь:
АА = 1 • (4.36)
Полученное соотношение совпадает с условием ортогональности,
записанным в форме (4.15), в чём можно убедиться с помощью
непосредственного вычисления произведения (4.36) *).
*) Нужно заметить, что равенство (4.35) можно получить непосредственно из
условий ортогональности в форме (4.36), причём краткость этого способа
указывает на преимущество символических методов. Умножая (4.36) справа на
А-1, получаем:
ААА-1 = А-1.
Отсюда с помощью (4.32) будем иметь:
А = А-1,
§ 4.3] ФОРМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
121
Другая форма условий ортогональности может быть получена подстановкой
соотношения (4.34) в равенство (4.30):
2 akiaji - 'Jkj> (4.37)
i
что в символической форме можно записать в виде
АА = 1.
Полученное равенство может быть также выведено непосредственно из (4.36)
посредством умножения его слева на А и справа на А-1-В связи с понятием о
транспонированной матрице вводится также понятие матрицы, комплексно с
ней сопряжённой. Эта матрица известна под названием сопряжённой, или
эрмитовски сопряжённой с данной матрицей; мы будем её обозначать символом
А+. Таким образом,
Af - (А)*- (4.38)
Подобно тому как ортогональной матрицей называется такая, которая
удовлетворяет условию (4.36), унитарной матрицей называется матрица А,
удовлетворяющая условию
А+А = 1. (4.39)
Матрица, определяющая ориентацию твёрдого тела, должна быть вещественной,
так как и х и х' являются вещественными. В этом случае нет разницы между
свойством ортогональности и свойством унитарности, т. е. между
транспонированной матрицей и эрмитовски сопряжённой. Короче говоря,
вещественная ортогональная матрица является в то же время унитарной. Но
вскоре в этой главе, а также позже в теории относительности, мы
встретимся с комплексными матрицами, и тогда обнаружится существенное
различие между ортогональностью и унитарностью.
Мы знаем, что матрицу можно интерпретировать, во-первых, как оператор,
преобразующий вектор, и, во-вторых, как оператор, преобразующий
координатную систему. Мы сейчас рассмотрим задачу, в которой имеют место
обе эти интерпретации. Это - задача о преобразовании
оператора при изменении системы координат. Пусть А
означает оператор, действующий на вектор F (или матрицу F, состоящую из
одного столбца) и преобразующий его в вектор G-Тогда можно написать:
G = AF-
Пусть теперь рассматриваемая координатная система преобразуется матрицей
В- Тогда в новой системе координат составляющие вектора G будут
определяться равенством
BG = BAF,
122
КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. 4
что можно записать также в виде
BG = BAB_1BF- (4.40)
Уравнение (4.40) показывает, что если на вектор F, выраженный в новой
системе координат, подействовать оператором ВАВ-1> то получится вектор G,
также выраженный в новой системе. Поэтому произведение ВАВ'1 можно
рассматривать как оператор А. преобразованный к новым осям.
В связи с этим можно написать:
А' = ВАВ-1- (4.41)
Любое преобразование, имеющее вид (4.41), называется подобным
преобразованием.
Рассмотрим в связи с этим преобразованием некоторые свойства
детерминанта, образованного из элементов квадратной матрицы. Как обычно,
мы будем детерминант матрицы А обозначать через [А|-Процедура умножения
матриц совпадает, как известно, с процедурой умножения детерминантов [см.
Bocher, .Introduction to Higher Algebra*), стр. 26]. Поэтому справедливо
равенство
1АВ| = IА1 -!В!-
Приняв теперь во внимание, что детерминант единичной матрицы равен
единице, мы из условия ортогональности (4.36) получим:
!АНА! = 1.
Далее, так как величина детерминанта не изменяется при замене его строк
столбцами, то можно написать:
| А [2 = 1 - (4.42)
Отсюда следует, что детерминант ортогональной матрицы может быть равен
только -f- 1 или - 1. В дальнейшем мы будем иметь возможность подробно
остановиться на геометрическом смысле каждого из этих значений.
В случае, когда матрица не является ортогональной, её детерминант,
