Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
I Z Z 3 3
Г., "5 Q ' ? T~%z 0 2 3 V* 3
Подставляя эти значения Glxг, в (4), окончательно полу-
§ 9] РАССЕЯНИЕ
чаем:
f(p+, {VTTl Yt (/"& - l) +
+ /ГГГ (e*^L- l)),
fip-- ^) = жЁ !/H-TYt + 2e(tm)'k - 3)+
+ VI YT (e^L4- 2/i5* - 3) 1, fir. "o) = ^|i/rFTVr(^-/i8-)+
+ 1/7YT (№-&-)}.
24. Таблица коэффициентов G^(r)/ для всех возможных реакций мезонов с
нуклонами имеет вид
№ п/п Реакция 4 G ? *ZZ2 J/ft *c O" f V*
1 р+-+р+ 3/2 1 0
2 р*>-+ pfl 1/2 2/3 j 1/3
3 р°-> п+ 1/2 /2/3 - /2/3
4 -> п° - 1/2 /2/3 j - /2/3
5 р~-*р~ - 1/2 1/3 1 2/3
6 п+ -*¦ п+ 1/2 1/3 2/3
7 п° -> р~ - 1/2 j /2/3 - /2/3
8 п+ -> рО 1/2 /2/3 - /2/3
9 п° -*• л° - 1/2 j 2/3 j 1/3
10 л ->л~ j - 3/2 1 j 0
П)
260 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так как фазы не зависят от /г в силу гипотезы об изотопической
инвариантности, то из таблицы (1) и формулы (4) задачи 23 § 9
непосредственно следует:
О /0+- Р+) ==/("'.
2) f(p~, P~) = f(n-+, п+),
3) f(p°, n+)=f{n+, p°) = f(p-, n°)~ f (n{\ /?-),
4) /(p°, pP) = f{n°, я").
Выражения для первых трех амплитуд даны в задаче 23. Из таблицы (1) легко
видеть, что
/О0. />0)=4-[/О+. P+)+f(P~< />")]•
Пользуясь таблицей (1), получаем:
1) /0+. Р+) ==/(л". n~) = f\
2) /(/>". /;-) = /(я+,чЛ+)=11 [/"/.+2/1/*].
3) я+) = /(/1+, Рь) =
= f(p-, я°) =/("°, />") =-^ i/ *-'/::b
4) /(Я0. Р°) = /("°. n°) = -j[2/a/*-(-/H
25. Дифференциальное сечение рассеяния:
^ = j/|2, где й?2 = sin bdbdo.
Полное сечение рассеяния:
2л ТС
з = j J | /|2 sin 6 db do. о о
Подставляя сюда амплитуды рассеяния указанных реакций, найденные в задаче
23 и учтя ортонормированность функций
РАССЕЯНИЕ
261
Паули
// W)+ (y,t)dQ = J J (yr)+(KF)dQ = hv >
jS(Ytr (Yp)dQ = Yr)+(Yt)dQ=0,
получаем:
oo
0 (P+ ¦ P+) = F S {^ + 1) sir.2 8ft +1 sin2 8ft},
Z=о
cx>
4tc
l=o
О <J>~, P-) = ^S((/+1)X
i=o
X j^sin2 8ft -|" 2 sin2 8ft - у sin2 (8ft - 8ft) j -f--f-/ J^sin2 8ft -|"
2 sin28ft - sin2 (8ft -8ft )j| *
OO
о (P-, "°) = g ^ {(/ ¦+ О sin2 (8*/- - 8ft ) +1 sin2 (8ft -8ft)}. Ы0
26. Дадим подробное решение для реакции (р+, р+). Амплитуда рассеяния
для 5- и P-волн имеет вид (см. задачу 23 § 9):
/ (Р+. Р+) = ^ \ЧУ о + V2 Ъ V г+ + ?! Г Г},
где
2 гб*/* 2г5^8 2io^a
а0 = е 0 -1; ах =-• е 1 + - 1; ?! = е 1_- 1.
Тогда дифференциальное сечение рассеяния для 5- и Р-волн равно (здесь
учтены явные выражения для функций Паули (см. задачу 22 § 9))
№ dz ____ |у |2 I |2_|_
к dil ~~' 001 ' °' ^
-+ у- I ^оо 11 I (2 (a0ai ~\~ + (ao?i + "oPi)} +
+ yl Yxof (4 I ai |2+1 ri |2+ 2 (ai?i + ai?i)} +
+ -|l^ii|2{|"i|2 + l?1|2-("i?i + ^?1)}-1У Зак. 1750. И. И. Гольдман, В.
Д. Кривченков
262 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так как шаровые функции Ylm равны
Foo=yfe: Г'° = тЛ^СО50; ^11=1^^ sin веЧ
то дифференциальное сечение запишется в виде
&2^- = ,4-f-5cose+-Ccos26, (1)
где коэффициенты А, В, С равны
A~j{\ao f + I ai |2+ I ?i |2 - (ali^l + al?l)}'>
В - {2(a0ai -f- aoOCj) (а^ -f- "oPi)};
^ ~T |2-("iP1 -1~ aiPi)}*
Чтобы выразить коэффициенты А, В, С через фазы, вос-
пользуемся тождествами
| e2i.v- 1 |2 = 4 sin2 х\
(,e2ix-- l)(e~2iy-- 1)----------- l)(e2%--- l)_
= 4 [sin2 j:-f- sin2_y- sin2 (л: -_y)].
Тогда:
A (p+, p+) = sin2 8^" -|- sin2 (8% - ^7-);
В (p+, p+) = 3 sin2 bf+2 sin2 8% -f- sin2 8% -
- 2 sin2 (8;/, - 8'Д) - sin2 (8% - 8V-.);
С (p+, p+) = 3 {2 sin2 8Д + sin2 8% - sin2 (83/. - 8^)},
Указанным способом легко подсчитать коэффициенты А, В, С для реакций
(р~~, р~) и (р~, п°). Приведем лишь окончательные результаты:
А(Р~> Р~)=\ sin28o/?+|-sin28o/2 -|-sin2 (8о/а-8о/г)+ +1sin2(s7; - 871) -1
Sin2 (871 - 8* ) +-+1 sin2 (87- - 8Й-) +1 sin2 (87; - 8* ) + + i. sin2
(87l - 87;)-4 sin2 (87; - s7;):
(2)
§ 9] РАССЕЯНИЕ 263
В (р~, р~) = sin2 80*+ 2 sin2 8J/2 -)--§¦ sin2 81+ +
I 4.2 5,./= I 1 ; 2 Л
¦sin
sin2 + -o- sin2 8i''i - "q- sin2 ($*- §7+) -
3-" ul+ T 3 "1- I 3 "i- 9
- ista! (ft- ft) - >.* (ft-ft) -_ I Sin! (ft - ft) - 4 sm! (ft - ft)
- 4 Sin! (ft - ft) -
-1 sin! (ft - ft) - i si (8? - ft);
С (p-, p ) = 2 sin2 b[\ -)- 4 sin2 8'/+ -)- sin2 87i +
-)- 2 sin2 8'/l - sin2 (87; - 87*.) -
- Isin2 (8Ъ - 870 -1 sin2 (87; - 8*) -
-1 sin2 (87;-§7i)--§ sin2 (87; - 870; (3)
A(p-, ra°) = {sin2 (80s - 8^) 4- sin2 (87; - 8704-+ sin2 (87^-871) -sin2
(87^ -870-- sin2 (87; - 870 + sin2 (87; - 870 +
+sin2 (871-870);
B(p~, tiQ) = ^{- 2 sin2 (8o/a - 870 + 2 sin2 (8oa - 870 -
- Sin2 (8o3- 870 + sin2 (So2-870 +
+ 2 sin2 ($ - 87;) - 2 Sin2 (Bo! - aft.) +
+ sin2(8^-870-sin2(8^-870}; С(p-, ft°) = I {sin2 (87;-87;)4-sin2 (s7;-s70
-
- sin2 (87; - 870+sin2 (s7; - s70 - sin2 (87; - 870}. (4)
Полученные результаты имеют большое значение при изучении углового
распределения рассеяния я-мезонов на протонах. Экспериментально можно
проверить формулу (1) и определить коэффициенты А, В, С для реакций (р+,
р+),
18*
264
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(Р~< Р~)> (Р~ ' п°)- Тогда шесть неизвестных фаз 80/2, 8j!,
о7+, 3^1, 8'/+, 8'/i определяются из девяти уравнений (2), (3), (4),
которые оказываются совместными.
Однако вычисленные фазы обладают неоднозначностью двоякого рода: во-
