Сборник задач по квантовой механике - Гольдман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
максимального p=pQ.
_Ро_ р Зла '
Кинетическая энергия электронов в объеме dx ,т_ ? Р2 , _ Ро ,
J 2 10^
о
Выразив в этой формуле р0 через р и интегрируя по объему атома, находим
кинетическую энергию электронов
Т=ш^/з Jp%dx-
Окончательно для полной энергии получаем:
Е= T+Une + Uea =
= W j<fkd--z I
22. Элемент объема, выраженный через х, имеет вид dx = 4 ur2 dr =
8tiX8x6 dx.
Вычисляем кинетическую энергию
т= 12(у)5/з Ха//а
ZQTC
и энергию взаимодействия электронов с ядром ипл = -8т.ЛШ.
Для того чтобы вычислить ?/е
найдем сначала потенциал, создаваемый электронами сре Решая уравнение
Пуассона
16яЖ2 | ...
Те =--------zr~ I1 - е -ж(л:+ 1)].
§ 7] атом 171
получим:
- _ii
X2
Вычисляя теперь Uee с помощью теоремы Грина, находим:
Uee = - -?Г J ТеР = 16тгМ2Х5.
Из условия нормировки определяем А
J р dx - 1 бтгЛХ3 = N.
N
Подставляя А = -в выражения для Т, Une, Uee, по-
лучим:
12 (3kN\% 1 25л \ 16 / Хз *
U =-^
"в 2Х '
Л/2
U - - ее 16Х •
Минимум Е = Т-f- Une -f- Uев достигается при } _ 9 /ЗиЛГ \% 1
25 I 16 / N_
8
и составляет
Е
=1Ш)Мг-т)' "¦
Для нейтрального атома
HBWS**-""** "• "
23. Пусть р(г) - выражение для электронной плотности в модели Томаса-
Ферми. Тогда р (г) осуществляет минимум энергии атома
(ЗтсЗу
ЮлЗ
Если в это выражение вместо р подставить функцию Х3р(Хг), удовлетворяющую
тому же условию нормировки, что и р(г),
172
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
то получим Е (X) = к2Т XU, где Т - кинетическая, a U - потенциальная
энергия электронов в атоме. Поскольку Е(Х) должно иметь минймум при X =
1, находим, что должно выполняться равенство
2Т U = О,
выражающее теорему вириала.
24. Энергия взаимодействия между электронами может быть записана в виде
Uee = - -jJ ?еР^= [ у ^ J срр rfx, (1)
где сре- потенциал, создаваемый электронами, а ср- потенциал
самосогласованного поля, включающий поле ядра
I ^
<Р = <Ре+- •
В модели Томаса-Ферми выполняются соотношения
р1 р1
"2- = ср - ср0, Р = з^2.
где р0 - максимальный импульс, ср0-потенциал на границе атома. Исключая
отсюда р0 и выражая в формуле (1) ср 'через р, находим:
,, Z Г р (Зти*)*/" Г ? N
Uee = T) --------------- J Р/з^--------2" •
Первые два члена лишь множителями отличаются от энергии взаимодействия
электронов с ядром
Une = -zfjrdx и кинетической энергии
3 (З^)'/:
10
Таким образом,
J р!/= di.
и = -- и - - Т - ^.
иез 2 6 2
Подставляя сюда значения Т из теоремы вириала
2Т= - ипв - иее,
§ 7] atom 173
окончательно находим:
Uee = - jUne - j^0N.
Для нейтрального атома (N = Z) <р0 = 0 и
U =--------U
w ее - j и"е*
26. Энергия полной ионизации равна полной энергии электронов, взятой с
обратным знаком. Используя теорему вириала, находим (см. предыдущую
задачу):
Еиоп = у Une~\~ у .
Преобразуем выражение
|з
4-*
г
следующим образом: введем потенциал сре, создаваемый электронами
Дсре = 4тср
и используем теорему Грина
Z j ^dx = Z?e(0)
^ив - 4jt
(поверхностный интеграл на границе атома равен нулю и
д! = -Ы (г)).
Итак,
Еион = - |-Zcpe(0)4-4^To-
Переходя к томас-фермиевским единицам
,7-./, . 1 /Зл\а/з
г = xbZ Ь= 2(TJ . ? - ?<> = -*--* находим:
ТеОО = Т " 7 = То - х [1 " г 0)1> и поскольку для малых х
у (х) = 1 - ах -f- -гг х3/*
174 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
где а = а0=1,58 для нейтрального атома (для положительного иона а > а0),
то окончательно
3ZVl 3 (Z - N)2 Z'l*
Еиш = т-а-т----------j------,
х0-радиус (Z - Л^-кратного иона.
26. Потенциал точечного кулоновского центра совпадает с потенциалом
заряженной по поверхности сферы вне этой сферы, поскольку полный заряд в
обоих случаях одинаков. Внутри сферы разница двух потенциалов составляет
Изменение потенциальной энергии электронов атома 40 *('<)•
i = 1
где введена вспомогательная функция
1 г < а,
*(г)-| О г>а.
Смещение уровней энергии в первом приближении теории возмущений
N
AE = - Ze2 J 1'Я22(^.--¦ ¦ ¦ diN.
г = 1
Интегрирование по всем переменным, кроме одной, дает:
J
й (гх .. . rN) I2 dz 2 ... dzN = ~ р (г),
где р(г)-электронная плотность.
Таким образом,
ДЕ=_2е2 J p(r)^_ijB(r)dT.
Воспользуемся тем, что р (г) мало изменяется в области г <^а. Вынося эту
величину за знак интеграла в точке г= О, получаем
9-71
АЕ = - Ze2 р (0)4г- а2.
О
§ 71 ATOM 175
27. Волновая функция s-электрона
где Хп удовлетворяет уравнению
'&+%№п-и(г)\Хя=0
СО
и нормировочному условию J yj^dr = I.
о
Решение уравнения для %п в квазиклассическом приближении имеет вид
г
Ап
Y.n=-^=cos У Рп
j J pndr + <pj , (1)
где
pn=V^[En - U{r)\.
Это решение, однако, непригодно в области малых г.
В самом деле, если г мало (V <<?Г -гг------------^ то, во-первых,
V Z /" pea )
можно пренебречь экранированием поля ядра и положить Ze2
U (г)-------- ; во-вторых, можно также пренебречь Еп по
Г 2 u.Z<?2
сравнению с U (г). Подставляя р=у -^-р-в условие применимости
квазиклассического приближения
ij)
dr
получаем:
Z^>
С 1.
№
Z,u.e2
Чтобы получить для у" выражение, пригодное в области малых г, вернемся к
исходному уравнению и заменим в нем Z<?2
U (г) на ---, а также пренебрежем Еп\
