Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Настоящий курс находится в стороне от всей этой проблематики, хотя изложенный выше материал, как можно надеяться, окажется полезным для понимания физических основ квантовой
*) Сам термин «перенормировка массы», насколько нам известно, возник лишь при проведении Соответствующих операций в квантовой электродинамике. Это дало повод считать метод перенормировок порождением квантовой теории, что по меньшей мере неточно (см. гл. 2).
9« электродинамики. В плане же дальнейшего изложения нам было важно лишь сформулировать гамильтоновский метод в классической электродинамике и ознакомить с самыми элементарными аспектами квантовой электродинамики.
Любопытно, что в классической электродинамике гамильтоновский метод в прошлом почти совсем не применялся; этот метод стал популярным только при переходе к квантовой электродинамике. Однако, как часто бывает, затем начала действовать «обратная связь». Конкретно, выяснилось, что гамильтоновский метод очень удобен и для решения ряда классических задач, особенно при наличии среды (см. ниже гл. 6 и 7). В последние годы, когда многие проблемы оказались уже решенными, возникли новые более сложные задачи и, кроме того, был развит и начал широко применяться ряд мощных математических методов (диаграммная техника, метод функций Грина и т. п.), гамильтоновский метод отошел в тень как в квантовой, так и в классической теориях излучения. По нашему убеждению, гамильтоновский метод сохраняет тем не менее преимущество наглядности, простоты и довольно большой универсальности, что делает его изложение и использование вполне целесообразным по крайней мере для педагогических целей.
В качестве иллюстрации рассмотрим при помощи гамильтоновского формализма задачу об излучении осциллятора — гармонически колеблющегося заряда. Чтобы определить поле, нужно найти величины qu в разложении (1.18), причем уравнение движения для этих величин имеет вид (1.24)
+ = в V&T(eAv(0){ Jjns^ (1.24)
где г = г(/) —радиус-вектор излучающего заряда е; в случае осциллятора
г [t) = а0 sin со0/, г (/) = V = V0 cos aQt == а0со0 cos a>Qt. (1.78) Аргумент (k^r(t)) в (1.24) мал, если
(1-79)
где Io — длина волны испускаемого излучения. Примем условие (1.79), т. е. будем считать, что амплитуда колебаний осциллятора много меньше длины испускаемой волны (для нерелятивистского осциллятора это всегда справедливо, поскольку скорость Wo = MoaoeCc и X0 = 2лс/со0), Тогда (к*г) в (1.24) много меньше единицы, и мы вправе положить cos(k^r)= 1, sin(kxr) = = 0. Поэтому qn = 0, а для qu получим уравнение
Я и + «ajftfci = е (exv0) V 8я cos CO0Z. (1.80)
27 Решение этого уравнения, удовлетворяющее требованию q%\ = 0, фа = 0 при t = 0, имеет вид
= T^T [C0S ®o/ — COSCOa/], bK=e(ekV 0) VSjt • 0-81)
Использование других начальных условий не сказывается на интересующем нас здесь результате — выражении (1.85) для мощности излучения (см. также ниже).
Получив qii, мы тем самым полностью определили электромагнитное поле и можем вычислить все другие величины. Найдем, например, энергию, излучаемую зарядом (осциллятором) в единицу времени. Для этого, очевидно, следует вычислить энергию поля Mtr по формуле (1.22) и затем найти ее изменение в единицу времени, т. е. dMtr/dt. Это и будет энергия, излученная осциллятором в единицу времени.
Для Mtr получаем выражение
В фигурных скобках мы выписали только тот член, за счет которого Mtr растет со временем; остальные члены, не выписанные в (1.82), не дают никакого вклада в выражение для энергии, излучаемой осциллятором в единицу времени при больших t (здесь предполагается, что t велико).
Для вычисления суммы (1.82) удобно перейти от суммирования к интегрированию. При этом выражение (1.82) нужно еще умножить на число осцилляторов поля с частотой от со до со + dco; это число равно
<и2 dm dQ, /і оо \
(2я сУ ' (1-83а)
где dQ — элемент телесного угла.
Таким образом, переход от суммирования к интегрированию сводится к замене
I^iWS ••• (1-83б>
X
где появление дополнительного множителя V2 связано с переходом к интегрированию по всем направлениям, а не по полусфере направлений к.
Интегрирование выражения (1.82) по со легко провести, если учесть равенство, справедливое при больших значениях t
+ OO
f (®) da=nf м (1-84)
28 В результате всех указанных простых вычислений получаем выражение для энергии, излученной осциллятором в единицу времени в телесный угол ofQ,
d3»iT Xtr е2ауа
dt
S^riSin 2QdQ, (1.85)
где 0 — угол между направлением колебаний ао и волновым вектором излучения ко, причем ko = COo/с.
Излучение, как оно определено выше (часть поля, нарастающая пропорционально времени t), возникает в случае равенства частоты «силы», стоящей в правой части уравнения (1.24), и собственной частоты осцилляторов поля COjt = Cky4. В этом отношении гармонически колеблющийся заряд вполне типичен, хотя в рассмотренном дипольном приближении (условие (1.79)) излучается только одна частота соо- Отметим, что в квантовой теории излучения в рамках теории возмущений ситуация вполне аналогична (ср. (1.82) с (1.73); подробнее см. [1]).
