Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
д%> с2р
V = -= . - > с
д р -у с2р2 — Ot2C4
и законы сохранения не препятствуют излучению фотонов равномерно движущейся частицей.
Четвертое доказательство основано на использовании гамильтоновского метода. При равномерном движении радиус-вектор электрона г (t) = \t и kAr = (k^v)Z, т. е. в правой части уравнения движения для осцилляторов поля фигурирует частота k^v (см. (1.24)). Собственная же частота осцилляторов поля в вакууме и>% = ck%, и, очевидно, при v < с резонанс невозможен, а значит, и нет излучения с нарастающей со временем Энергией Mtr-
Итак, при сделанных оговорках (инерциальная система, вакуум, скорость V < с) равномерно движущийся электрон не излучает.
Весь этот вопрос не обсуждался бы здесь, вероятно, если бы сказанным все и ограничивалось. Но это не так. Дело в том, что в первый период развития квантовой электродинамики было сделано парадоксальное утверждение о том, что в квантовой теории равномерно движущийся электрон все-таки излучает. К такому выводу легко прийти в результате простых вычислений в рамках первого приближения теории возмущений. Действительно, пусть при t = 0 электрон равномерно двигался (импульс р == const) и энергия поперечного поля была равна нулю (все осцилляторы поля находились в основном состоянии, т. е. tin = 0). Тогда при учете взаимодействия, скажем, взаимодействия Mi = — -^rpA (см. (1.65)), матричные элементы переходов в квантовые состояния с Пи = 1 отличны от нуля (см. (1.40)), а значит, отлична от нуля и вероятность \bn{t)\2 в (1.73). Правда, энергия поля не будет расти во времени (при t-yoo), но все равно какое-то излучение появится. Мы не при-
31 водим более подробного квантового расчета, поскольку обсуждаемый эффект фактически является чисто классическим [12]. В самом деле, поставим вопрос точно так же, как и выше, но в рамках гамильтоновского метода в классической электродинамике. Именно, будем искать решение для осцилляторов поля qii (а тем самым и для самого поперечного поля) в случае равномерно движущегося заряда, когда в (1.24) r(/) = v/, и при условии, что при t = 0 все q\i = Oh q%i = 0, т. е. поле равно нулю. Для упрощения, совершенно неважного по сути дела, ограничимся также случаем, когда kAr(/) = (kA,v)/<C 1; иными словами, будем считать достаточно малым время / или большой длину волны Х = 2n/k. Тогда уравнения (1.24) запишутся следующим образом:
Чи + = е V^ Kv), qu + сa\qn = 0. (1.86)
Решение этих уравнений, удовлетворяющее упомянутым условиям, имеет вид
Чи = ^TXl (eAv) (1 - cos соД qn = 0. (1.87)
mA
Подставляя найденное решение в (1.22), получаем
Mtr = Bne2Y -COSCOa/). (1.88)
t-1 COj
А к
Переходя от суммы к интегралу (см. (1.836)) и проводя интегрирование по углам, а также по частоте от значения со = О ДО некоторого максимального значения COmax, имеем
8е2 ( sin со t 1 ^ir = ^ ('/^2){ COmax--р-}. (1.89)
Точно такой же результат получается при квантовом расчете. Как это обстоятельство, так и отсутствие в (1.89) квантовой постоянной Й, не оставляет сомнений в отсутствии в обсуждаемой задаче квантового элемента. Существо дела состоит, очевидно, в следующем. Электрон считается равномерно движущимся, но при / = O предполагается, что поперечное поле отсутствует. Между тем равномерно движущийся электрон (если он все время движется именно так) окружен своим увлекаемым полем, в том числе поперечным полем (магнитным и электрическим). Считать это поле отсутствующим при t = О, а затем (при t > 0) описываемым уравнениями поля означает физически, что до момента / = 0 электрон покоился, а при / = O был мгновенно ускорен до скорости v. Вполне естественно, что в результате заряд излучает, причем он, во-первых, «обрастает» своим увлекаемым полем и, во-вторых, испускает «истинное» излучение, уходящее на бесконечность и обуслов-
32 ленное ускорением заряда. Эта часть поперечного поля (поле излучения) представлена в (1.87) членом, пропорциональным cos сOjA который отвечает решению однородного уравнения (1.86). Уже отсюда ясно, что речь идет об излучении свободного поля (или, на квантовом языке, об излучении фотонов). Если включать взаимодействие достаточно медленно (адиабатически), а, физически говоря, медленно разгонять электрон, то свободное поле не появляется и образуется только увлекаемое поле, энергия которого в нерелятивистском случае (т. е. при o<c) равна
4е2со „
Частота Comax = 2лсДтіп, где Ятіп — самая короткая длина волны. Для протяженного заряда с радиусом г0, очевидно, Xmin ~ Го и Жіг = lZzmemV1, причем электромагнитная масса ГПет ~ B2Zr0C2, как и должно быть.
Итак, к числу условий, при выполнении которых равномерно движущийся электрон не излучает, нужно прибавить требование стационарности или, другими словами, равномерности движения во всем интервале — оо <; / < В общем такое требование очевидно и в какой-то мере всегда подразумевается, но оно оказалось как-то скрытым при квантовых расчетах, о которых мы упоминали. Использование гамильтоновского метода и, главное, связанная с этим постановка задачи, аналогичная квантовому подходу с включением взаимодействия при t = 0, позволили устранить парадокс и полностью выяснить суть дела. Вместе с тем становится очевидным, что поле равномерно движущегося заряда вовсе не обязано быть стационарным. Другими словами, заряд может уже некоторое время двигаться равномерно, а увлекаемое им поле может отличаться от стационарного (существующего при достаточно длительном движении с постоянной скоростью).
