Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ж=+еф W (1-32)
заменяется на оператор Гамильтона, или гамильтониан,
^ = ^r + еф, (1.33)
где р — оператор импульса частицы, удовлетворяющий коммутационным соотношениям (г = {х/}, /= 1,2,3)
PjXj — X1Pj = — ih (1.34)
и равный
р = — im. (1.35)
Если частица находится в электромагнитном поле, то в (1.32) р заменяется на (р — А^и соответственно в (1.33) р заменяется на
P--^A = -JAV-T-A.
*) Речь, конечно, идет о частицах, поскольку электродинамика в вакууме (или с квантовой точки зрения теория частиц со спином 1 и массой покоя, равной нулю) всегда является релятивистской теорией
17 Состояние системы определяется волновой функцией ?(г,0, изменение которой во времени описывается уравнением Шре-дингера
= (1.36)
Волновые функции стационарных состояний имеют вид
Wn (г, t) = ехр (- iEJIh) (г), (1.37)
где г|)п(г) не зависит от t (п — номер, или квантовое число стационарного состояния). Квадрат модуля Ч'-функции (т. е. вероятность того, что частица будет обнаружена в данной точке) для стационарного состояния не зависит от времени. Подставляя (1.37) в (1.36) и сокращая на ехр (—iEJ/h), имеем
Ж^п(г) = Еп^п(г). (1.38)
Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор с массой, равной единице. Как известно, гамильтониан такого осциллятора имеет вид
Ж = р2/2 + (1.39)
(здесь q = q— координата и ш0 — циклическая частота осциллятора). Энергия л-го стационарного состояния равна
= Zko0 (« + >/2); п = 0, 1,2,...,
а волновая функция имеет вид
г|>„ {q) = Cn ехр ( q2?ql) Hn (q/q0),
q0= У/г/соо. Hn (х) — полином Эрмита и Cn= 1
где
(1.39а)
(1.396) 1
нормировочный множитель. В частности,
(я,?2)'V2V
¦фо(<?):
(1.39в)
VXh Qo
Матричные элементы координаты (<7„„-) и импульса (рпп,) для переходов из состояния с квантовым числом п в состояние с квантовым числом п' при п' ф п + 1 равны нулю, а при ft' = ft ± 1 равны
n+i = 5 ФІН,
Vn+ 1
dq= д/
A (я + 1)
2fflo
hn
2fflo
<7П, п-\ = дД
Р». „+1 = J < (- itl ~§ї) t»+! d<? =
— ,-о А/ВНЗГ
- - ш0 д/ 2Шо
/ hn
Pn, п-1 = Д/ — П-1.
= — гсо0<7„, п+ь
(1.40)
18 Выше упоминалось, что переход от классической электродинамики к квантовой проводится совершенно так же, как в механике. При этом функция Гамильтона системы, состоящей из поля и частицы,
Ж = (1.41)
{Же — функция Гамильтона для частицы в поле, рассмотренная выше; см. (1.29)) заменяется на оператор Гамильтона
36 = ШеЛ-Min (1.42)
где
^ = V2 E (/? +^L)- (1-43)
а. і
Здесь оператор импульса рц, так же как и в механике, равен
P^i = ~ ihWx7 (1-44)
и удовлетворяет соотношениям коммутации
Pxiqv.! — Qrtfoi = (1-45)
Если зарядов нет или их взаимодействием с полем, фигурирующим B Же, можно пренебречь, то волновая функция, описывающая состояние поля W(q, t) (q — совокупность координат q%i), удовлетворяет уравнению
ІП ^tl = Mtr^ (q, О- (1.46)
Волновая функция стационарного состояния tyn(q) удовлетворяет тогда уравнению
atr^n(q) = E^n(q). (1.47)
Легко проверить, что En имеет следующий вид:
En = Tj Й®а (%< + Ч2) = E ЬЩАкі + Vz E ^k- (1 -48)
к, і к, і к, і
Член 1J2 E ^coA бесконечно велик. Однако эта бесконечность
а, і
не приводит к существенным трудностям в теории по следующим причинам: во-первых, физическая наблюдаемая величина в этой теории — не сама энергия, а разность энергий в различных состояниях, и поэтому сумма '/2 E ^wA- оставаясь постоян-
а, і
ной, не входит в окончательный результат. Во-вторых, переход от классических уравнений к квантовым не однозначен. Можно найти такой метод квантования уравнений поля, при котором эта добавка исчезает. Действительно, будем исходить из классической функции Гамильтона для одного осциллятора в виде
Ж = Ъ (P2 + 0)?2) = V2 (Р + ІЩ) (Р - <0*7).
19 Тогда, переходя к оператору Гамильтона, т. е. заменяя р на •fc д
p =— находим
Ж = '/г {р2 + CO2^2) - 1/їАса
(этот результат получается потому, что операторы р и q не коммутируют).
Таким образом, в применении к полю приходим для энергии стационарного состояния к выражению
En = Il^nki. (1.49)
x, і
Волновая функция поля имеет вид произведения волновых функций отдельных осцилляторов, т. е.
4>»fo) = IIW<7«)- (1-50)
x, і
Из формулы (1.49) видно, что энергию электромагнитного поля можно трактовать как энергию совокупности частиц с энергией Ti сох- Часто утверждают, что мы таким образом сразу же приходим к понятию о фотонах, причем числа пц суть числа фотонов данного сорта. Фотонами, однако, принято называть (и это вполне разумно) лишь кванты поля излучения (поля без источников, или свободного поля), в частности света. В большинстве случаев используется даже еще более узкое определение фотонов как квантов электромагнитного поля, имеющих энергию Tico и импульс Tik (k = со/с). Ниже фотонами будем называть любые кванты излучения в вакууме, но это не меняет того факта, что полученные выше кванты поперечного электромагнитного поля (назовем их виртуальными фотонами или псевдофотонами), вообще говоря, не сводятся к фотонам. Все дело в том, что рассматривалось не поле излучения, т. е. свободное электромагнитное поле (решение однородных уравнений поля), а произвольное поле (решение неоднородных уравнений поля — уравнений при наличии токов и зарядов). Такое произвольное поперечное электромагнитное поле отлично от поля излучения или, на квантовом языке, от совокупности фотонов (в качестве примера достаточно упомянуть поперечное поле равномерно движущегося заряда, которое перемещается в пространстве со скоростью заряда v < с). Более того, если само квантование поперечного поля (1.45) проведено без всяких предположений, то как выражения (1.46) — (1.48), так и (1.49), (1.50) получены непоследовательным образом — при пренебрежении взаимодействием зарядов с полем. Если же этого не делать, то, очевидно, координаты поля q входят и в Mtr, и в Же, в силу чего энергию поперечного поля нельзя представить в виде (1.48), (1.49) . Введение псевдофотонов все же имеет некоторый смысл, 20 поскольку частоты 0? в (1.49) можно до поры до времени "считать не связанными с волновым вектором соотношением со2 = = c2k\_ Такие виртуальные фотоны (псевдофотоны) появляются в промежуточных состояниях при расчетах по теории возмущений (см. ниже). Другими словами, энергия виртуальных фотонов Е% = А сох и их импульс ря = Akjl не связаны соотношением E2x = C2P2k (со2 = с2&2), справедливым для фотонов с заданным импульсом. Для поперечного увлекаемого движущимся зарядом поля, как мы увидим ниже, co = (kv), где v — скорость заряда. Если рассматривать соответствующие кванты с энергией Аса, то они относятся к виртуальным фотонам и образуют, как иногда говорят, «шубу» движущегося заряда.
