Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Обычная форма уравнений Максвелла в вакууме такова (в книге везде используется только гауссова система единиц СГС):
, ,, 4я . 1 <ЗЕ rot H =-pv Ч---^7-,
г ' 1 г гіг
с ' 1 с dt
div E = 4лр,
, „ IdH
rot E =----JT-
с dt
div H = O.
(1.1)
Здесь H — напряженность магнитного поля, E — напряженность электрического поля, р — плотность зарядов, V — их скорость. Для простоты считаем, что в электромагнитном поле имеется
9 один точечный заряд е (радиус-вектор r,(0)- В этом случае плотность заряда задается б-функцней
P = ^fl (г-Fi(O). (1-2)
Уравнения (1.1), как известно, можно свести к уравнениям для электромагнитных потенциалов А и ср, которые связаны с полями E и H соотношениями
1 аА grad ф, H==rotA. (1.3)
с dt
Вследствие (1.3) третье и четвертое уравнения (1.1) удовлетворяются автоматически, что легко проверить непосредственной подстановкой.
Из первого и второго уравнений (1.1) с помощью (1.3) и тождества
rot rot А = — AA + grad div А (1.4)
получаем уравнения для потенциалов А и ср:
AA--^-5^-grad +div A) =pv, 1
і а Г (1'5)
Аф + T Ж div А = — 4яр- J
Система уравнений (1.5) определяет потенциалы А и ср. Поля E и H находят с помощью равенств (1.3).
Известно, что векторный потенциал А и скалярный потенциал ср определяются неоднозначно. Действительно, перейдем к новым потенциалам:
А' = А + grad %, = (1.6)
где % — некоторая произвольная функция от координат и времени. Такое преобразование называется градиентным или калибровочным. Легко показать, что в результате преобразования (1.6) поля E и H не меняются. Они выражаются через А' и ф' так же, как и через А и ф; в этом можно убедиться, подставив (1.6) в (1.3).
Неоднозначность в определении потенциалов дает нам право наложить на А и ф некоторое дополнительное условие. Это условие можно выбрать так, чтобы придать уравнениям (1.5) более простой вид.
Наложим, например, такое дополнительное условие:
divA + Hr = °- 0-7)
Это — релятивистски инвариантное условие, которое иногда называют калибровкой или условием Лорентца. Его можно записать в форме
-JT = O, (1.7а)
дх
10 где, как и везде ниже, предполагается суммирование по дважды встречающимся индексам.
Отметим, что в (1.7а), как и везде ниже, используются обозначения, согласно которым четырехмерный вектор Ai имеет контравариантные компоненты Л°, A1, A2, A3 и ковариантные компоненты A0 = A0, Л,= —Л1, A2 = -A2 и A3 = -A3. При этом AiAi = A0A0 + Л'Л, + A2A2 + Л3Л3 = (Л0)2 - (Л1)2 — — (Л2)2 — (Л3)2. В случае, когда Ai есть потенциал электромагнитного поля компонента Л° обычно обозначается через ф, т. е. Л' = {ф, А}. Далее для четырехмерного радиус-вектора имеем
X0 = Ct, X1=X, X2 = у, X3 = Z или Xt = {et, г}, Xi = {et, — г}, XtXi = сЧ2 — г2.
Именно такие обозначения сейчас наиболее, видимо, распространены и используются, в частности, в курсе [2], на который мы часто будем опираться. Нужно вместе с тем заметить, что используются и другие обозначения, связанные с введением мнимой единицы (см., например, [1, 3—5]). При этом вводятся координаты Xi, х2, х3, х4 = id или Xi = {г, ict}, а векторный потенциал Ai= {А, іф}; поэтому уравнение (1.7а) имеет вид
^4i' = о-
дх.
і
Обозначения обоих типов детально сопоставляются в [5J. В рамках частной теории относительности введение мнимой единицы более удобно. Имея, однако, в виду переход к общей теории относительности, следует отдать предпочтение использованию контра- и ковариантных величин уже в псевдоевклидовом пространстве.
Легко видеть, что при выполнении условия (1.7) уравнения Максвелла принимают следующий вид:
? ф = (д — 72--^2-) ф= — 4ltP-
Не следует думать, что условие (1.7) и система уравнений (1.8) полностью определяют А и ф. Мы можем еще совершить градиентное преобразование вида (1.6), где в данном случае функция X должна удовлетворять однородному уравнению ? % = 0. При этом поля E и H останутся неизменными.
Существенное значение, в частности в рамках гамильтоновского метода, имеет разделение поля на продольную и поперечную составляющие.
Разложим векторы E и H на составляющие
E = E,+ Eir, H = Hir, (1.9)
причем div Е(, = 0 и в силу (1.1) div H^ = div H = 0.
(1.8)
11 Потребуем, чтобы векторный потенциал А описывал только поперечное поле, для чего наложим на него вместо дополнительного условия (1.7) условие
div A = O. (1.10)
Потенциал, удовлетворяющий условию (1.10), обозначают иногда через Atr.
Уравнения (1.5) для А и ф при выполнении условия (1.10) принимают вид
Дф = — 4яр, (1.11)
= + (1.12)
Мы видим, что для потенциала ф получилось «статическое» уравнение Пуассона. Решение для случая, когда р есть плотность заряда точечного источника (1.2), хорошо известно:
ф= |г-г|(*)|' (1ЛЗ)
где гi(t) — точка, в которой находится заряд в момент времени /. Векторный потенциал А описывает теперь только поперечное поле. Калибровка (1.10) называется кулоновской *). Потенциалы А и ф определены здесь с точностью до функции % (г, t), удовлетворяющей условию A^ = 0.
