Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В (2.18) интегрирование по частям (переход от VD к D) возможно, поскольку функция D считается отличной от нуля лишь в области порядка радиуса ротатора г0, по той же причине можно положить
J D sin (kAr> dV = 0 и ^ D cos (kAr) dV = 1
При WA < ©max ~ 2яс/г0 И
D cos (kAr) dV = 0
S-
при coa > ©max. Разумеется, таким путем нельзя точно вычислить коэффициенты, содержащие параметр го и вообще зависящие от форм-фактора D.
Если поступить указанным образом, то можно считать </А1 = 0, а для qi2 использовать уравнение (см. (2.18))
Ь.2 + = VST сеА [,U (/) kjJ, ®А < ©тах. (2.19)
Его решение имеет вид
<7а2 = vV M (0) [kAeA] cos 0>J +
coa
t
+ ^f1 S ел If* W кА] Sin ©я (t - т) dx, (2.20)
* о
41 где при / = O поле H' считается отвечающим неподвижному моменту ц(0).
С помощью (2.20) легко найти поле
H' = rot A, A= У8я сZe^ws sin (кЛг)
к
и подставить его в (2.16). Производя затем простые операции, аналогичные упомянутым для заряда, получаем уравнение движения (ц = ц(/), ц = du/dt и аналогично для других величин)
M = Em-H0] - [мм] + -Jr [мм] +
+ Т5ЙГ [* (S(O) + A (O)W [^rd-))] +
+ члены, стремящиеся к нулю при comax ~ с/г0-> оо. (2.21)
Если отбросить члены, связанные с начальными условиями, и члены, исчезающие при г0->- 0, то уравнение движения принимает вид
M = [цН0] - L + Ш,
L = i^M- ^ = -Jrbii]. (2'22)
Слагаемое St представляет собой момент сил радиационного трения и является диссипативным. В стационарных условиях или в среднем по времени работа момента сил (Я равна излучаемой энергии, подобно тому, как это имеет место в отношении силы радиационного трения f (подробнее см. ниже гл. 3). Пусть, например, магнитный момент ц постоянен по величине и направлен перпендикулярно оси вращения ротатора (ц = цх, Mi-« = Ni cos Міг/ ~ Мої sin Qt, угловая скорость Q направлена по оси г). Тогда мощность излучения равна
о 2Q4u2
^ = ^ (M)2 = (2.23)
В тех же условияха% = з^з"[.uj.JiJ и работа а%?ікак раз равна
выражению (2.23). Член L в (2.22) является консервативным и, очевидно,
L = Mm, Мт = і|рЧмм], (2.24)
т. е. Mm представляет собой некоторый момент количества движения электромагнитного происхождения. Как следует из вывода уравнения (2.21) и вполне аналогично случаю заряда (см. (2.14)), в уравнении (2.22) нужно считать, что частота вращения момента Q << COmax ~ 2яс/г0. Поэтому в (2.22) по абсолютной величине L 91. Но вместе с тем момент Mm может быть очень мал по сравнению с механическим моментом количества движения M (например, для пульсаров ситуация именно та-
42 кова; см. [30]). Таким образом, вопрос об учете или неучете членов Lh St определяется характером задачи. В приведенном выше примере вычисления излучения магнитного диполя член L роли не играет. Если же рассматривается рассеяние электромагнитных волн на магнитном диполе, то, напротив, член L преобладает над St (см. [16]).
Появление члена L в (2.22) несколько неожиданно, ибо по аналогии со случаем заряда можно было бы ожидать, что учет собственного поля приведет к появлению члена, пропорционального M или (і и имитирующего вклад от них. Ситуация проясняется, если рассмотреть ротатор, обладающий не только магнитным моментом, но и зарядом с плотностью eD(г). Вычислим для такого ротатора электромагнитный момент количества движения
Mem = ^-J [г [EH]] (2.25)
причем для упрощения будем считать ротатор шаром радиуса го, поле вне шара — полем заряда е и магнитного диполя рх, расположенных в центре шара и, наконец, электрическое поле внутри шара положим равным нулю (такая модель вполне реалистична — ей соответствует хорошо проводящий заряженный и намагниченный шар). Тогда несложный расчет (см. [32]) приводит к результату
Mem = Me+ Mm, Me-Jgr, Mm = [iifi]. (2.26)
Момент количества движения Mm совпадает с полученным выше (см. (2.24)), где для полного совпадения нужно положить сотах = яс/2го), а момент Me действительно пропорционален Ji (это значит, что в уравнении типа (2.22) появится член, пропорциональный ji). Если магнитный момент Ji пропорционален механическому моменту количества движения M (что часто бы вает), то электромагнитный момент количества движения Me фактически не будет играть роли — его нужно объединить с M и «перенормировать» суммарный момент, приравняв его величину наблюдаемому значению (здесь мы имеем в виду «точечную» частицу); для макроскопического ротатора при ji = у.М просто
где в условиях (2.26) Xe = ji/Afe = 3roc/2e ~ е/тетс, поскольку электромагнитная масса тет ~ е2/гос2. Для незаряженного магнитного ротатора электромагнитный момент количества движения полностью сводится к Mm, причем учет этого момента может в принципе радикально изменить динамику ротатора (см. (2.22)).
В заключение отметим, что с несколько иными аспектами проблемы реакции излучения мы еще столкнемся ниже.
43 Глава З РАВНОМЕРНО УСКОРЕННЫЙ ЗАРЯД
Излучение и радиационная сила при равномерно ускоренном движении заряда. Релятивистское уравнение движения с учетом реакции излучения. Закон сохранения энергии для заряда и поля.
