Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
— г = адг2 -\-vy2 + wz2, (8)
— r=uxs + vy3 + wz3, /
причём хоть Одно из и, v, w не равно нулю. Будем рассматривать хI, уi,'Jкак коэффициенты, а и, v, w — как неопределённые элементы, подвергаемые линейному преобразованию. В доказанной' выше алгебраической теореме предполагалось, что коэффициенты стоят слева, здесь же они стоят справа. Очевидно, теорема останется верной и теперь, при условии, что во всех формулировках умножение слева заменится умножением справа н наоборот.
ПРИМЕЧАНИЯ [67] 473
Возможны дэа.случая., Еслн свойство 1) имеет место, то имеет место и свойство 3), и систему уравнений (8) можно переписать в эквивалентном виде, выразив и, v,w линейно (коэффициенты справа) через левые части —г, —г, —г.
Получим, вынося г за скобку: и = га,
v = rb, w= re,
(9)
где а, Ь, с — некоторые коэффициенты, зависящие только от Xj, [н не равные одновременно нулю — иначе (8) не могло
бы быть следствием (9)]. Таким образом, если г взять произвольным (#0), а и, v, w- определить согласно (9),. то полученные элементы будут удовлетворять системе (8), и обратно. Следовательно, и, v, w, г существуют и при этом определены с точностью до умножения на произвольный, отличный от нуля множитель слева (если вместо г выбрать другой элемент г', то результатом этого' будет умножение и, v, w, г на rV-1 слева). Искомая плоскость существует и будет единственной.
Еслн же свойство 1) не имеет места, то это значит, что можно подобрать значения и, v, w, не все равные нулю, так, что uxt -f- vy\ wii = 0, ((=1,2,3), (10)
т. е. снова существует плоскость, проходящая через Ми М2, М&
Покажем, что н теперь эта плоскость будет единственной* Допустим, что существует ещё одна плоскость, проходящая через те же точки, так что мы имеем:
и'х{ + v'yt +w'zt-f г' = 0, , (/=1,2,3). (11)
Если допустить, что и’, v', w' получаются из и, v, w умножением на одно и то же р слева, то'умножая (10) на р слева и сравнивая с (11), мы сейчас же получим, что г’ = 0,' следовательно, вторая плоскость.просто тождественна с первой (см. определение плоскости :в тексте).
Еслн -же допустить противное, то по самому определению прямой, данному в тексте, все трн точки Ми М2, Mg лежат на прямой [{и, v, w, 0); («', v', w', г')]. А это противоречит условиям аксиом 14 и 1Б.
Остальные аксиомы проверяются Сразу. Пусть дана какая-нибудь прямая (7) и плоскость:
ax-j-vy~f-w2-f-r = 0. (12)
Подставим дг, у, г из уравнений (7) в (12); в левой части мы получим линейное выражение относительно t. Пусть прямая имеет две общие точки с плоскостью; всегда можно считать, что это будут точки * = 0 и/=1. Подставляя < = 0 в (12), мы убеждаемся в обращении в нуль свободного от 1 члена; а подставляя значение f=l, мы убеждаемся в обращении в нуль коэффициента при t. Следовательно, подстановка (7) в (12) даёт тожде-
474
ПРИМЕЧАНИЯ [67]
ство, и прямая (7) всеми свонмн точками лежнт на плоскости (12). Этим проверена аксиома 1в.
Далее, пусть даны две плоскости, имеющие общую точку (•*о> Уо¦ 4) (аксиома 17):
их0 4- vy0 4- wz0 + г — 0, н'дг0 4- v'y0 4- w% 4- г’ = 0.
Если бы н\ v't w' получались из и, v, w умножением на одно и то же р слева, то, умножая первое равенство на р слева и сравнивая со вторым, мы обнаружили бы, что и г' получается из г умножением на р слева. Другими словамв, плоскости, вопреки нашему предположению, были бы тождественны.
Если же такого множителя р не существует, то по определению прямой, данному в тексте, выписанная пара уравнений определяет точки прямой, очевидно, лежащие одновременно на обеих плоскостях.
Проверим, наконец, аксиому IV*. Покажем, прежде всего, что после преобразования координат в нашем пространстве любую плоскость можно рассматривать как плоскость
г = с.
В самом деле, пусть дана плоскость
их 4- vy 4- wz 4- г = 0.
Подберём к строке и, v, w ещё "две строки и', v', w' и и’, г»1', w" произвольно, но так, чтобы между этими тремя строками не было линейной зависимости с коэффициентами слева. Введём для произвольных х,у, г соответствующие им а',у', г' по закону дг' = и'дг 4- v'y 4- w'z, у' = и''х 4- v"y 4- W’z, з! = их 4- vy 4- wz.
По предположению, для этого преобразования имеет место свойство 2), а следовательно, и свойство 3), и преобразование обратимо. Тройки чисел (л-, у, г) и (дг',у',г') взаимно однозначно друг другу отвечают, и, как нетрудно проверить, уравнения плоскостей и прямых сохраняют в новых координатах прежний вид (конечно, с изменением коэффициентов) в силу линейного характера преобразования с коэффициентами слева. Очевидно также, что г' на исходной плоскости остаётся постоянным.
Итак, аксиому IV* достаточно доказать на плоскости г — 0. Пусть на ней дана какая-нибудь прямая
