Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим через С(х, 0) (черт. 36) точку пересечения недезарговой прямой АВ, если таковая существует, с осью. Из определения недезарговой прямой следует, что
ЛГ2 — X Хх — X
или
уг(Хх, — х) = 2{хъ~ Х)ух.
Отсюда
~У\—Уг
Отсюда следует, так как yi>0, —уг > 0, что х заключено между хг и хъ так что луч СА и продолжение луча СВ в положительной полуплоскости будут наклонены к оси под острым углом. Существование и единственность недезарговой прямой АВ-доказаны.
Выполнение аксиом 13, IIi-з, ПЬ-з, IV, V совершенно очевидно. Без труда доказывается и аксиома Н4; единственное •усложнение здесь состоит в том, что следует рассматривать все возможные случаи расположения треугольника.
[63] Другими словами, здесь имеются в виду углы, у которых либо вершина лежит вне оси, либо, если вершина лежит на оси, то ни одна из двух сторон не является лучом, лежащим в положительной полуплоскости и образующим острый угол с положительным направлением оси.
[6Э] В оригинале ошибочно стоит «ассоциативного».
Iм] Здесь не требуется, чтобы Е непосредственно Следовала за О; возможны последовательности ОАВЕ, АОВЕ и т. Д. Случаи же, когда, напротив, О следует за Е, всегда можно устранить, так как ' последовательность, по теореме 5, определяется с точностью до замены её обратной последовательностью.
464 ПРИМЕЧАНИЯ [65]
[65] В виде примера докажем справедливость в числовой системе Дезарга правил 15 и 16 § 13. Этому доказательству мы предпошлём несколько замечаний.
Пусть нам даны в плоскости а две прямые я и я' и пусть на прямой я имеется некоторая последовательность точек А, В, С, ..., К, L. Из этих точек мы проведём прямые, параллельные друг другу, но не параллельные прямой я' (и не совпадающие с я). Точки А', В', С',..., К', L' пересечения этих параллелей с прямою я' мы назовём проекциями (параллельными) точек А,
в, С,... , /(, />>
Лемма I. Из аксиом II и IV* следует, что про-
екции точек на прямой я' располагаются в том же порядке, что и проектируемые точки на прямой я. Другими словами, если из трёх точек А, В и С, взятых на прямой я, точка В лежит меж,цу А и С, то на я’ точка В' лежит между А' и С' (черт. 37).
Доказательство. Так как точка С лежит вне отрезка А В, то точки А и В лежат по одну сторону от прямой СС’. Так как прямые АА' и ВВ' параллельны СС, то точки А и А', В и В' должны лежать по одну сторону от СС (см. примечание [15]), а следовательно, точки А' и В’ лежат по одну сторону от прямой СС' (ем. то же примечание), т. е. точка С' лежит вне отрезка А'В'. Точно так же докажем, что точка А' лежит вне отрезка В'С'. Следовательно, точки А', В', С' расположёны в том же порядке, что и проектируемые точки.
Следствие. Если отрезок АВ прямой я не пересекается с прямой я', то проекции А', В' точек А, В на прямую я' лежат по одну сторону от я.
Справедливость этого утверждения в том случае, когда прямые а и а' параллельны, очевидна, так как если бы А' и В' лежали по разные стороны от прямой а, то прямая А'В', т. е. прямая я', пересекалась бы с я. Если же прямые а и я' пересекаются в некоторой точке О, причём точка В лежит на отрезке АО (черт. 37), то, в силу леммы I, точка В' лежит на отрезке А'О, т. е. отрезок-А'В' не пересекается с прямой я, а следовательно, точки А и В лежат по О ’ну сторону от я.
Лемма II. Пусть точки А и В прямой я проектируются с помощью одного пучка параллельных в точки А' и В' прямой а*, а с помощью другого пучка параллельных — в точки А" и В” той же прямой а*. Если на отрезке АВ не лежит точка пересечения прямых я и я* (в частности, если эти прямые параллельны), то точки А', А", В', В" располагаются на я* так, что В” следует за В', коль скоро А" следует за; А'.
В силу следствия из "леммы 1,пары проекций А', В' и А", В" находятся’ либо обе по одну сторону от прямой АВ, либо
Черт. 37.
ПРИМЕЧАНИЯ [65]
465
по разные стороны от неё. Рассмотрим первый случай и поло-Жйм сначала, что точки А" и В' лежат по одну сторону от А'.
Допустим, что лемма неверна, т. е. что точка В" лежит по ту
же сторону от В', что н А' (черт. 38). Прямая АА", в силу аксиомы IV*, пересекает ВВ' в некоторой точке, скажем, Р. Так как точки В' и А" лежат по одну сторону от А\ то луч А А" леж4П по ту же сторону от АА', что и прямая ВВ', а .следовательно, точка Р лежит на луче АА". Точка Р, принадлежа лучу АА", должна лежать по ту же сторону от АВ, что и точка А", а следовательно, в рассматриваемом случае, по ту же сторону, что и точка В'; таким образом, точка Р лежит на луче ВВ'.
В этом случае В' н В" лежат по одну сторону от АВ и В"
лежит по ту же сторону от ВВ', что и А’, т. е. что и А. Поэтому точка В", а значит, и луч ВВ" лежат внутри угла АВВ’, на сторонах которого находятся концы А и Р отрезка АР н, следовательно, луч ВВ" должен пересечь отрезок, принадлежащий параллельной ему прямой АА". Мы пришли к противоречию.
