Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
знаков у корней У ft)-
То же можно сказать о любой степени выражения (4). Рассмотрим выражения
Все они являются выражениями типа (4), а так как их число на 1 превышает число членов в каждом выражении, то можно подобрать такие множители fa из исходного поля R, что линейная комбинация
Ро'' + faa4 "f- fa^n 4* • • + р2я ап
обращается в нуль тождественно, т. е. в этой линейной комбинации, которая представляет собою тоже выражение типа (4), каждый из 2” коэффициентов обращается в нуль. В результате ап вместе со всемн сопряжёнными ему числами удовлетворяет одному и тому же уравнению степени 2я с коэффициентами из исходного поля R:
Ро Ч- hx Ра*2 “К • -4” Рг***2™ = (6)
Заметим, что уравнение это будет неприводимым, т. е. длне удовлетворяет никакому уравнению низшей1 степени с коэффициентами тоже нз R (в противном случае такое уравнение после подстановки выражения (4) должно было бы удовлетворяться тождественно относительно
У и......УТ^\
ввиду того, что ни одни нз этих корней не выражается рационально через предыдущие по номеру; но тогда уравнение должно было бы удовлетворяться и всеми сопряжёнными с ап числами, что невозможно, так как степень его < 2Л).
Если поле R—просто поле рациональных чисел (/^...отсутствуют), то ап есть алгебраическое число, а аа, ап, ... — ему сопряжённые числа.
примечания [79—81]
487
4. Пусть, в частности, последовательность полей (1) отвечала построению при помощи линейки и эталона длины; это значит, что под знаком каждого из корней Vff стоит сумма квадратов элементов соответствующего поля R{.
Составив некоторый элемент ап поля Ra, займёмся составлением элементов, ему сопряжённых. Так как /0 представляет собой сумму квадратов, то ]/уо—действительное число. Какой бы ни взять знак у ]//0, выражение /j, представляющее сумму квадратов элементов поля R\, останется неотрицательным и V/i-a вместе с ним и всё поле Rt — останется действительным. Как бы ни взять знак УД,— всё равно выражение /2, как сумма квадратов элементов поля R2, неотрицательно, а потому У/2—действительно; а вместе с ним действительны и все элементы поля /?з, и т. д.
В результате всякий элемент ап поля вместе со всеми своими сопряжёнными оказывается действительным. Это, очевидно, значит — если мы исходили из ПОЛЯ
R(P\.....Рг)
при фиксированных рь .рг, — что соответствующая алгебраическая функция параметров рь ...,рп определяемая уравнением (6), при действительных значениях р\, ... , рг имеет только действительные значения (которые тем самым будут вполне действительными числами в случае рациональных рх, ... , рг).
[80] Задача о построении правильного /«-угольника, где р — простое число, при помощи циркуля и линейки разрешается, как известно, лишь в случае, когда р имеет вид:
р = 2" + 1.
При этом приходится п раз прибегать к извлечению квадратного корня.
Поставим задачу так: дан раднус окружности, один конец которого мы принимаем за центр окружности, а другой — за вершину искомого правильного многоугольника, вписанного в окружность. Требуется построить ещё одну вершину многоугольника.
Очевидно, эта задача имеет 2” действительных решений, так как всего многоугольник имеет 2” —f— 1 вершину. Мы действительно находимся в условиях теоремы 65.
[81] Задача Мальфатти состоит в следующем. Дан треугольник ABC; требуется построить три окружности так, чтобы каждая из них касалась двух других окружностей и двух сторон треугольника.
488
ПРИМЕЧАНИЯ [82]
Решение этой задачи с помощью циркуля _ и линейки см. Адлер А., Теория геометрических 'построений, Одесса, 1909, стр. 9—11; Адамар Ж., Элементарная геометрия, ч. I, Планиметрия, М., 1938, стр. 270—275.
[И] Задача Аполлония — провести окружность, касательную к трём данным окружностям.
Решение этой задачи с помощью циркуля и линейки см. Четверухин Н. Ф., Методы геометрических построений. М., стр. 134—136, 1938; А л е к с а н д р о в И., Геометрические задачи на построение, М., стр. 131—132,1934; Адлер А., Теория геометрических построений, Одесса, 1909, стр. 52—57, 66—69; Адамар Ж., Элементарная геометрия, ч. 1, Планиметрия, Учпедгиз, М., 1938, стр. 200—204.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
П. К. Рзшевский.- «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса .... 7
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ.
Введение................ ................................. 55
Глава первая. Пять групп аксиом........................... 56
§ 1. Элементы геометрии и пять групп аксиом .... 56
§ 2. Первая группа аксяом: аксиомы соединения (принадлежности) .................................... . . 57
§ 3. Вторая группа аксиом. Аксиомы порядка........... 58
§ 4. Следствия из аксиом соединения и порядка .... 60
§ 5. Третья группа аксиом: аксиомы конгруентности . . 66
