Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
В проективном пространстве справедливы следующие основные предложения:
1. Двум точкам отвечает одна и только одна принадлежащая им прямая.
2. Двум плоскостям отвечает одна и только одна принадлежащая им прямая.
3. Точке и не принадлежащей ей прямой отвечает одна и только одна плоскость, принадлежащая нм обенм.
4. Плоскости и не принадлежащей ей прямой отвечает одна м только одна точка, принадлежащая им обеим.
5. Трём точкам, не принадлежащим одной прямой, отвечает одна и только одна плоскость, принадлежащая им всем.
6. Трём плоскостям, не принадлежащим одной прямой, отвечает одна и только одна точка, принадлежащая им всем.
Особенно важно то обстоятельство, что предложения 2,'4, 6 в проективном пространстве верны безоговорочно, в то время как в прежнем пространстве они допускали исключения (случаи параллелизма). В достижении этой полной общности формулировок и состоит преимущество проективного пространства, и именно эту цель имеет введение новых — несобственных — элементов.
Что касается проверки предложений 1—6, то она выполняется на основе имеющих место в исходном пространстве аксиом I, IV* и покоящейся на них теории параллелизма и, конечно, на основе определений, использованных нами при введении несобственных элементов. При этом проверка ведётся отдельно для всех возможных случаев. Например, предложение 4 нужно проверить, когда 1) плоскость и прямая собственные пересекающиеся, 2) собственные параллельные, 3) плоскость несобственная, прямая собственная и 4) плоскость собственная, прямая несобственная *).
*) .Эту проверку предложений 1—6 можно найти, например, в книге Н. ф. Четверухина «Высшая геометрия», гл. И.
462
ПРИМЕЧАНИЯ [60]
Теорема Дезарга (плоскостная) — первая из нетривиальных проективных теорем — доказывается на основе этих предложений и гласит следующим образом:
Пусть ABC и А'В'С' — треугольники, лежащие на одной плоскости и не имеющие общих вершин и общих сторон (под сторонами мы понимаем здесь прямые, а не отрезки).
Тогда — если 1) три прямые, соединяющие соответствующие вершины, имеют общую точку, то 2) три точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой, —
и обратно: из 2) следует 1).
Теорема верна в проективном пространстве, т. е. при любой комбинации собственных и несобственных элементов среди рассматриваемых в ней точек и прямых*).
Рассмотрим частный случай теоремы Дезарга.
Пусть имеет место свойство 1) и пусть, кроме того, две пары соответственных сторон параллельны, иначе говоря, имеют точки пересечения на несобственной прямой данной плоскости. В силу теоремы Дезарга должно иметь место свойство 2), т. е. точка пересечения третьей пары соответственных сторон должна лежать на той же ‘(несобственной) прямой, а значит, стороны в третьей паре тоже должны быть параллельны.
Пусть, обратно, все три пары соответственных сторон параллельны, т. е. имеет место свойство 2) в том частном случЬе, когда точки пересечения соответственных сторон лежат все три на несобственной прямой. Тогда, по теореме Дезарга, имеет место и свойство 1), т. е. три прямые, соединяющие соответственные вершины, имеют общую точку, либо собственную, либо несобственную (т. е. параллельны).
Это и есть теорема 53 (в тексте Гильберта).
Еслн в построенном проективном пространстве мы захотим jjo конца уничтожить различие в свойствах между собственными и несобственными элементами, то нам придётся определить для точек на прямой новые отношения порядка, учитывая и несобственную точку прямой Мы не будем на этом останавливаться (для теоремы Дезарга отношения порядка не играют никакой роли); укажем только, что проективный порядок точек на прямой будет круговым, и, хотя при его установлении понятие «между» и аксиомы Ив области собственных точек должны быть использованы, на проективной (дополненной несобственной точкой) прямой понятле «между» потеряет смысл.
Резюмируем сказанное в этом примечании. Г еометрия, основанная на аксиомах I, П, IV*, есть по существу геометрия проективного пространства, лишённая части своих элементов. Присоединение несобственных элементов нужно рассматривать как восстановление этих элементов.
*) Доказательство можно найти в той же книге Н. Ф. Ч е т-в еру хина, а также в любом курсе проективной геометрии.
ПРИМЕЧАНИЯ [60—64] 463
В результате получается обычная проективная геометрия, л и-шённая, однако, аксиом непрерывности. Проективным характером геометрии и объясняется особенная роль теоремы Дезарга.
[61] Примем за ось этой недезарговой геометрии ось ОХ декартовой геометрии в прямоугольных координатах х, у. Выполнение аксиом Ij и 12 может вызывать сомнение только в том случае, когда данные точки А (л^, ух) и В(х2, у2) лежат в разных полуплоскостях и притом обычная прямая, соединяющая этн две точки, в положительной полуплоскости образует с положительным направлением оси острый угол. Другими словами, если А (л*1, у{) лежит в положительной полуплоскости, то Ух > 0, у2 < 0, хх > х2.
