Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Положим теперь, что точки А" и В' лежат по разные стороны от А'. Утверждение,' что лемма II неверна, означает в этом случае, что точки А", А', В', В" могут располагаться на прямой а* в указанном порядке. Но при таком
расположении (черт. 39) луч BQ прямой ВВ", дополнительный к лучу ВВ", проходит по ту же сторону от ВВ', что и прямая АА', а луч АР прямой АА", дополнительный к лучу АА", лежит по ту же сторону от АА', что и прямая ВВ'. С помощью рассуждения, совершенно аналогичного предыдущему, докажем, что в таком случае прямые АР и BQ пересекаются, т. е. придём к противоречию.
Во втором случае, когда пары точек А', В' и А", В" отделены друг от друга прямой АВ, а следовательно, н точкой С пересечения прямых а и а* '(черт. 40), справедливость леммы очевидна.
30 Д. Гильберт
466 ПРИМЕЧАНИЯ [65]
Докажем теперь, что если Ь > а, то Ь-\- с > а-^-с. Производим следующие построения (черт. 41). На стороне Ох угла хОу откладываем отрезки ОЕ = 1, О А—а, ОВ = Ь, ОС—с. На другой стороне Оу того же угла откладываем отрезок ОЕ' = 1 и проводим прямые АА' i| ВВ' || ЕЕ', CN || ОЕ' н Е'Р || A'Q [| B'R || ОЕ. Пусть прямые Е'Р, A'Q, B'R пересекают прямую CN (они ей не параллельны в силу аксиомы IV*) в точках jWj, Мъ, М$. Из
точек Mi, Мг, М$ проводим прямые, параллельные ЕЕ'. Пусть эти пршые пересекут ОЕ в точках Н, К, L. Согласно определению сложения, мы будем иметь:
ОН=с-fl, ОК=с + a, OL—c-\- Ь.
Условимся записывать точки оси Ох всегда в таком порядке, при котором точка Е следует за О. Так как Ь > я, то по определению (и в силу предыдущего условия) В следует за А. Согласно лемме I, точки С, Н, К, L должны быть расположены на прямой ОЕ в том же порядке, что н точки С, Mit jW2, jW8 на прямой CN, а значит, в том же порядке, что и точки О, Е\ А', В' на прямой ОЕ1, а значит, в том же порядке, что и точки
О, Е, А, В прямой ОЕ. Последнее утверждение означает, напр мер, что точка Н лежит между С и К, если точка Е лежит между О и А; но из этого утверждения отнюдь ещё нельзя заключить, что точка Н следует за С, когда все;точки, взятые на оси Ох, будут записаны в условленном порядке (т. е. так, что Я следует за О). Последнее заключение следует из леммы II. Действительно, прямая Е'Р параллельна ОЕ, а потому к точкам, О, Е, С, Н, служащим проекциями точек Е' и Mi, применима лемма II, т. ё. Н следует за С.
Теперь доказано, что порядок следования точек С, Н, К., L На оси От будет таким же, как у точек О, Е, A, Bf не только С точностью до замены на обратный (что было доказано выше), но и совершенно точно. А так как В следует за А, то L сле-дует'За д, чем н доказывается требуемое.
ПРИМЕЧАНИЯ [65—67]
467
Докажем теперь, Что если а > Ъ н е > 0, то ас > Ьс (черт. 42).
Откладываем отрезки ОЕ—ОЕ' = 1, О А ~ О А' — я, О В — ~ОВ' = Ь (так, чтобы при этом АА'\\ВВ'\\ ЕЕ') и ОС~с так, чтобы точка О не лежала на отрезке ЕС (т. е. с > 0) Далее, из точки С проводим прямые, параллельные ЕА' и ЕВ'. Пусть эти прямые пересекают ОЕ' соответственно в точках К' и L'. По определению умножения,
ОК!~ас и OL’ — bc. Так как на отрезке ЕС нет ни одной точки прямой ОЕ', то, в силу леммы II, L' следует за 1C, если В' следует за А', что и требовалось фактически доказать.
[бв] Во всех этих соглашениях следует иметь в виду порядок множителей.
Например, системы (uw.w.r) и (ua\va\wa\ra) не представляют одной и той же плоскости.
[61] Наметим путь проверки аксиом I и IV*.
Пусть в некоторой числовой системе законы 1—11 § 13 вы* поЛнены; другими словами, числовая система представляет собою некоторое поле (вообще говоря, некоммутативное). Нам придётся установить сначала некоторые соотношении из алгебры этого поля.
Рассмотрим линейное преобразование произвольных элементов поля х\, хг,..., хп в некоторые новые элементы х[, х'2.....х'п по закону:
х 1 = аПх\ 4~в12*2 4" • • • 4" а\ахп>
х2 ~ ai\x\ 4" а-пхг 4~ • • • + ainxn> ¦ ...
а — аа\х\ + яп2 v2 4" • • • 4" аапхп- '
Коэффициенты преобразования (из того же поля) предполагаются стоящими слева, что в некоммутативном поле существенно. Нас будет интересовать вопрос о существовании обратного преобразования того же типа, т. е. вопрос о решении этой системы уравнений относительно хъ ..., хп. Теория детерминантов в некоммутативную область не переносится, а потому вопрос этот мы должны решить заново.
Теорема. Равносильны следующие утверждения'-
1) не существует таких значений хь х2, х„ (из которых хоть одно отлично от нуля), которые обращают в нуль х[, х%......х'п одновременно;
30*
468
ПРИМЕЧАНИЯ [67]
2) не существует таких элементов Ьу Ь2, .... Ьа (из которых хоть один отличен от нуля), чтобы имело место
Ь\х\ + btx2 -[-••> + Ьпхп ~ О при любом выборе значений хх, хг, ..., хп;
3) преобразование (1) обратимо. Другими словами, для него можно указать преобразование вида
А-1 = «11*1+---+«1п*'в. )
