Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
+ iy-f\m,{r) = 0. (18)
5. Решение уравнений Дирака. Частным случаем системы (18) является
система уравнений Дирака, которая после отделения множителя, зависящего
от времени, может быть записана в виде
(4+' w) "*+к"г ~ УlE~mc'~+у (г)] =°'
(к-1 -?-)¦Т, "*~ к|?-шг+v <г)1'=°'
{k+lk)u'+i"'~ilE+mc'+V(rn"' = 0'
{тк-< к)'-к">¦- к|?++v'<r)l"*=
При вращениях пара функций (uv и2), равно как и (иг, и4), преобразуется
по представлению группы вращений с 1= - ^
142 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Произвольная инвариантная система относительно таких неизвестных
11 12 21
функций зависит от выбора четырех постоянных Су" у,, Су" м", сult ,2, 22
11 22 12 '
Сч" у"- Уравнения Дирака получаются при су" у, - с,/" у,- 0; с,/., ,,, =
2 Ас ш 21 _ 2 Ac ,
~ Е - mc2+ V(r) ' Cl/" 't'~ E + mc^A- V(r) '
Преобразования, проделанные в п. 4 над общей инвариантной' системой,
приведут в нашем случае к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
df\
1
^7 + 7/3 (/•)-
dr
dfi
y-/l(r) - kifl(r) = 0, 0,
dr
*f\
-k2f,(r)=0,
где
dr
i
(19)
k^Tc
mc2-\-V{r)J, k2
he
[E + mca + V(r)].
Эта система относительно четырех неизвестных функций может быть сведена к
системе двух уравнений второго порядка. Заметим для этого, что если
положить f\(г) - rp: if\ (г) и fl(r) = z±zifl(r), то второе уравнение
совпадает с первым, третье-с четвертым, и система приобретет вид
/ + -3
dfl
dr
dfi
2 л
:- /з (/¦) -
- А1/1 (г) = 0,
1 2
/i>) - k2fl (г) = 0.
(20)
dr г
По каждому решению (/*, /3) системы (20) можно построить два линейно
независимых решения (/[, -if\, f\, //3) и (f\, if\, f\, - ifI) исходной
системы (19).
В частности, если V(r) = 0, то решение системы (20) выражается через
цилиндрические функции полуцелого порядка:
Л (г)-
А (г) = (V- *1*2 • г) + J-, (V- КК ¦ г)'
У Г У г
- \-\r- Jl +1 (/- *1*2 • г) + -~f= j-1-1 (V- *1*2 • г).
kty г кгу г
п. 6] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ 143.
Найденные нами решения уравнений Дирака имеют, следовательно, вид
Общее решение может быть разложено в ряд по таким частным решениям.
6. Матрицы Lu L2, L3 для случая д: Ф 0 (другой вывод).
В этом пункте мы покажем, что матрицы Ly, L2, L3 в инвариантном уравнении
могут быть вычислены с помощью разложения произведения двух представлений
на неприводимые.
Заметим, прежде всего, что соотношения (3) для матриц могут быть,
очевидно, переписаны в виде
где Тд - матрицы представления g ->¦ Тд, действующего в пространстве R
(пространству R принадлежат значения функции ф(х)), a Lu L%, L3- матрицы
в этом пространстве. Рассмотрим все матрицы в пространстве R. Они также
образуют линейное пространство. Обозначим это пространство буквой S.
(Размерность S равна п2_ если размерность R равна п.)
"1(0 т. ")=/{(г)7'\ > о),
"2(О ?, $)==pif\(r)Tl_L' п(|-<р, а, о), "3 (о ?. ")=/з(г)7'г1> п(| - ср,
", о),
и, (г, ср, &) = ± ifl (г) Tl_± _ п (| - ?, ", О)
где
Т ' 1 2 '
(21)
144 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
Зададим в пространстве S представление g-^-^g, действующее по формуле
^=ToLTo~X (22)
(читатель без труда может убедиться, что эта формула действительно задает
представление группы вращения в пространстве S).
Представление (22), вообще говоря, приводимо. Допустим,
что среди непри-
водимых представлений, на которые оно распадается, содержится
представление с весом 1=1. Представление с 1=1 эквивалентно
тождественному представлению группы вращений, действующему в трехмерном
пространстве. Поэтому, если среди неприводимых относительно представления
(22) подпространств в 5 найдется подпространство с 1=1, то в нем можно
выбрать базис Lv L2, L3, в котором представление (22) действует по
формуле
~ ^-! gki^-k'
к = 1,2,3
ИЛИ
ТдЦТ~1= 2 gkiLk- (210
к = 1,2,3
Итак, мы видам, что е трехмерном подпространстве /?(*) пространства
матриц S, неприводимом относительно представления g-o-ig, найдется тройка
матриц Lu .L2, Ls (некоторый базис в RW), удовлетворяющая соотношениям
<3) (или, что то же самое (2)) для матриц в инвариантном уравнении.
Обратно, тройка матриц Lv L2, L3, удовлетворяющая соотношению (21),
порождает в S трехмерное подпространство, инвариантное и неприводимое
относительно представления g-+zg.
Таким образом, задача об отыскании матриц Llt L2, L3 свелась к выделению
в пространстве всех матриц (пространстве S) неприводимых подпространств с
весом I = 1 относительно представления g-*-tg и построению канонических
базисов L0, L+, L_ в этих подпространствах.
Напомним, что канонический базис L0, L+, L_ в трехмерном неприводимом
подпространстве связан с базисом Lv Lz, L3 соотношениями
L0= L3,
L_= Z,j -(- iLz,
L - L^ lI~.z.
Покажем теперь, как поставленная задача связана с задачей разложения
произведения двух представлений на неприводимые. Напомним (см. замечание
на стр. 56), что если g-у Тдр) и g -"• T'gq) - два представления,
действующие в пространствах R& и Rd) (р и q - размерности пространств),
то произведение этих представлений
