Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 50

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 132 >> Следующая

(И)
Постоянные сг-1> г , сп, 4+1.1 здесь те же, что и в фор-
муле (8). Аналогично можно найти матрицу А2 = -Hi> А3].
П. 4] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ
135
Полагая L?\m--
- 2
Г, тzr
Klm'rn Чт' • МЫ на"ДеМ- ЧТ0
Ач'*"
Z-1, I, т-1, т
^I, I, т - 1, ш '
Z + Ъ l> т - 1, w
1C:
1-\,1
(/ -(- т) (I -j- т - 1),


Z+1.Z
мч 1 - 1,1, т+1, m
Ь1'"*
I, I, т +1, ш
Ь'1'*
Z + l, I, т-\-1, w
1 о* **¦* 1 ! 1.1
" 2
1 лГ (
~ 2 к (
гс;+ы ¦V<
2
-m + i)(/ - m+ 2), У(/ -от)(/- от- 1), -j- от -)- 1) (/ - от),
У(/ 4~ m ~b 1) (!¦ ~Ьт ~b 2),
(12)
и все остальные ,
/'Z, mm
= 0.
Мы нашли, таким образом, возможный вид матриц Lv L2, Ls для систем
инвариантных уравнений первого порядка. Постоянные cJ'Jj г, cjj' и г,
входящие в эти матрицы, могут выбираться произвольно. Придавая этим
постоянным конкретные значения, мы будем получать различные инвариантные
системы уравнений.
4. Решение инвариантных уравнений. Покажем теперь, что решение
инвариантных систем уравнений удобно искать в виде рядов по обобщенным
сферическим функциям, рассмотренным в предыдущем параграфе. Применяя эти
разложения, мы сведем решение произвольной инвариантной системы вида (1)
к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений, подобно тому
как это было сделано в § 8 для уравнений Максвелла.
С этой целью преобразуем уравнение (1) следующим образом. Во-первых,
перейдем к сферическим координатам, положив в каждой точке
d , cos у cos 0 д
dxt
д
дх2
д
дх8
sin у
л sin 0 1 г д$
cosy д , sin у cos & д .
ТйпТГ <Эу~' г dft '
sin 0 д
Т Ж
-coscpsmi
• sin ср sin &
д
дг
дг
дг
Как следует из результатов § 8 и может быть проверено непосредственно,
это преобразование независимых переменных изменяет систему (1) так же,
как будто в точке с полярными координатами (ср, 8) мы подвергли
пространство вращению ? = ср, 8,
136 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
д 1
(обратному к g(o, 0, <р) )
дх'
1_ _д_ г oft
д
дх'"
дг
[ч. I
___________д_
дх[ г sin " д<?
Одновременно с этим подвергнем
и положили -- = ¦
соответствующему преобразованию искомые функции tyj, t|>2, . . положив
Тgif, где 7^=7(у - ср, 8, rj . Если подставить
в систему (1) if-Tg- Ц"' и затем применить к результату преобразование
Тд, то мы получим систему
V-1
sin? д(ТдхУ) cos ? cos b d{Tgxif') 'г
г sin & о?
cos ?
г sin " д<?
+ TgL 3
-COS Ф Sin '
d(r~W)
дг
¦ . cv^V)1
sin cp sm 8 --
sin" d{T-^f) d(Tg\')
--------^-- -f- cos 8 -----
г Л.Ч 1
dr
+ = 0.
В силу инвариантности системы имеют место равенства (см. формулу (3)
этого параграфа)
Тд [- L\ sin cp-f-Z.2coscp] Tg1 = Lu
Tg [L\ cos cp cos & -f- Z,2 sin cp cos 8 - L3 sin 8] Tgl = Li,
Tg [Li cos cp sin & -)- Li sin cp sin 8 -f- L3 cos 8] Tg 1 = L3,
с помощью которых преобразованная система может быть записана в виде *)
1 d(T-'if') 1 d(T~W) ^(ГГУ)
i т V в т / т у \ д т / I г т \ ff * J \ ",|/ о
rsin"^ dr rLila dS rLilg jp \-%!f -U.
(13)
Матрица 7J1 зависит от cp и 8. Поэтому при дифференцировании Tglif по
этим переменным мы должны продифференцировать оба сомножителя, после чего
уравнение приобретает вид
1
ду 1 ду
г sin " 1 ду
+
д"
1
г sin "
LiT,
дТ
-1
9 ду
1 дТ~х - IT а г в дЬ
¦*?
f = 0. (14)
-1
dTal dTa1
Входящие в коэффициент при if произведения Tg-jи Тд-^~ суть не что иное,
как линейные комбинации матриц Ак, отве-
*) Для того чтобы записать систему таким образом, нужно вставить справа
от каждой матрицы Lk произведение Тд1Тд.
П. 4] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ
137
чающих при представлении бесконечно малым поворотам вокруг осей
координат. Действительно, вспоминая, что g - g(д - &>
и g-1 = g'^0, S, ?+^> и записывая в параметрах, например,
дТ~1
Т о
в д<р дТ
имеем:
Т"
0:? д<? ¦> о
- 740, &, ср
:=d'ziT(r-^ "¦') И0' "¦ *+*+ji-i)l
i ИтН' "• *) г(0' *¦ ?+4?+f)-?] •
Первое слагаемое в скобке есть матрица, которая при До-* 0, очевидно,
стремится к Е. Поэтому вся квадратная скобка может быть представлена как
линейная комбинация матриц Ак, умноженная на Дер -(- члены высшего
порядка (см. § 2). Предел же всего выра-
дТ~
-, есть просто линейная комбинация Av Л2 и А3.
жения, т. е. Т" .
в
При этом коэффициенты линейной комбинации зависят от вращения g(^-- ср,
9, rcjg-^О, &, ср -)- Дср -(-), поэтому они будут одина-
т дТа д§
ковы для произведения Тд-~- и для произведения g~^~ последнее
произведение непосредственно
cos у 0
• sin ср cos 0 sin i sin f sin 0 cos ¦ cos 0 cos у sin &
. Вычислим
g
g
g-1
dg-J_
df
dg-1
dft
- sin ?
cos ? cos ft -
cos ? sin ft
- sin ? - cos ?
cos ? - sin ?
0 sin
0 - cos ft
COS ft 0
sin ft 0
0 0 0
0 0 - -1 = a
0 1 0
cos ft
sin l 0 0
= a2 sin & -)- a3 cos &,
где av a2, a3 - матрицы, отвечающие бесконечно малым поворотам при
основном (трехмерном) представлении.
Поэтому для любого представления g-^- Тд имеют место такие же равенства:
дТ~1
Тд = A sin & + A cos Я, Т(
дТ
-1
- = А-
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed