Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 53

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 132 >> Следующая

П. 6] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ
145
тТ X Т'Т' Действующее в пространстве R(P)XR{q), эквивалентно
представлению, действующему в пространстве прямоугольных матриц А
размерами рХЯ (Р - число строк, q - число столбцов) по формуле
,gA = UgAV'T
где Ug - матрица представления g-^-ТТ, записанная в некотором базисе
пространства Rp, Vg - матрица представления g-->• T'f, записанная в
некотором базисе пространства R(q\ и V^p обозначает транспонированную
матрицу Уд.
Пусть теперь в пространстве R действует представление g -> Тд группы
вращений. Обозначим через Uд матрицы представления g-+Tg в некотором
базисе. Зададим в R еще одно представление g-yfg так, что его матрицы в
том же базисе имеют вид
Vg = (U?Y1- (23)
(Читатель может без труда убедиться, что соответствие g ->• V
действительно является представлением.)
Воспользовавшись сделанным выше замечанием, мы видим, что произведение
двух представлений ТдХ Тд можно реализовать в пространстве квадратных
матриц L по формуле
^ = UgLV?
ИЛИ
~gL - U(jLUд ,
что совпадает с формулой (22).
Таким образом, мы видим, что представление (22) в пространстве матриц S
эквивалентно произведению двух представлений Тд и Тд действующих в R.
Нашей задачей теперь является выделить в произведении представлений Тд X
Тд неприводимое трехмерное подпространство и найти его канонический
базис.
Обозначим, как всегда, через канонический базис представления g->¦ Тд в
пространстве R. Мы будем, кроме того, считать, что именно в этом базисе
матрицы Ug и Vg представлений g->Tg
и g-+Tg связаны соотношением (23) Vg = (UTg') .
Заметим при этом, что базис {sim} не является каноническим для
представления g-^-Tg. Однако он отличается от канонического лишь
нумерацией векторов: вектор является собственным вектором оператора Нг
для представления g-+Tg с собственным значением - m
Tfz b"m -
1 46 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
Ч. I
а поэтому базис {tjz,,,} = является уже каноническим для
представления g-+Tg. В связи с этим в пространстве R\R выберем базис
{ym'V,-ш'} = {&"?гт'}> являющийся произведением канонических базисов
представлений g -> Тд и g -> Тд. Вектор h из R X R в этом базисе
запишется, очевидно, так:
1 _____ ZZ f.'Z Zl.' yZ z'
U - ^ т' - ^ ^hnl'm' $lmTil, -ui' •
В силу замечания на стр. 56, при представлении Тд \ Тд в R X R матрица
^cTmi'm' || преобразуется по формуле (22).
Пусть, наконец, R3 - трехмерное неприводимое подпространство, т. е.
подпространство в RXR> в котором действует представление с весом l~\, a
L0, L+, L_-канонический базис в нем.
Запишем векторы l.Q, L+, L_ в базисе -m'-
7 __ V г';' (о) )
'-О-1 &1т1'т'ыт ril',-m'> |
= \ (24)
T ____ 4|yl tV ( -) yZ _ V i
L_ -Q'lmVm' Ят'^Г, -m,' • j
Числа alhi'0nr'~J являются, очевидно, элементами матриц L0, L+, L_
инвариантного уравнения. Найдем общий вид этих чисел.
Как и раньше, мы будем предполагать, что пространство R,
в котором действует представление g-+ Т , раскладывается в прямую сумму
инвариантных подпространств RJ, в каждом из которых представление g -* Тд
порождает неприводимое представление с весом I (значком т мы будем
различать подпространства с одинаковым I)
Я = 2 (25)
(Ь)
Базис -гй,-г-н &z~i&} является каноническим в подпространстве R}.
Аналогичное разложение R имеет место и для представления
g->fg
я = 2л1>). (26>
Базис \ (m' - - I, . . ., /)-канонический в подпространстве R] .
Таким образом, произведение RX R пространства на самое себя является
прямой суммой всевозможных подпространств вида
RiXRv-
RXR= 2 RlXRl-
(l,
*) Оба разложения (25) и (26) можно выбрать совпадающими.
П. 6] § 9. УРАВНЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ВРАЩЕНИЙ
147
В подпространствах R'XRv, инвариантных относительно представления ¦Zg-^-
TgXTg, последнее действует, как произведение двух неприводимых
представлений с весами I и V. Если теперь в каждом из подпространств R} X
R]' выделим (когда это возможно) трехмерное неприводимое подпространство
и его канонический базис
g-0(/T;/V), g+ (Ч; ТУ), g_(l-.; Ух'), то с помощью линейных комбинаций
вида ?o = 2'i?rgo(-; *v).
L+=" -2 d 'il,
jLdu'goil- ТУ),
L
($; ТУ)
(27)
мы получим канонический базис в любом трехмерном подпространстве из R X
R, неприводимом относительно представления Тд X Тд.
Итак, задача свелась к тому, чтобы в произведении R\ X Rv найти
канонический базнс трехмерного неприводимого представления (/=1), Сразу
же заметим, что такое представление существует лишь тогда, когда веса I и
Т отличаются не более чем на 1:
V
' + 1.
1 = 1' - 1, т. е. в подпространствах вида
RUXRi, RiXRt. RhiRi.
Напишем для Rj-\ X Ri ¦'
So (t- "c> iT ) == 2 Til-1, in; I,-mil-1,
^ T, ^ $1 - 1, ш-ir 1; I, - in - 1, m-f lVl,~ mi
1 , T, I'Z ) = Si -l, m- 1; I, - ш-1*^1,-m ,
g+ (I g- (I
для RJ X Ri ¦
go
g+ {T\ И') = 2 $hm+1; m + Wl.-m,
g- (^> ^)==^J $1, w-1; I,-m^l, m-lVL-m,
для R1+1 x R'l
g+ id ~(~ 0 ^ ) == 2 $1 + 1, m+1; 1, m+l'r\l, - m,
g-(l+ 1. 't; ^0 = 2 $l'+hlm-V,l,-n&+\,
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed