Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
представление g-> Т . При этом для того чтобы такая система уравнений
была релятивистски-инвариантной, матрицы L0, Lt, L2, L3 по-прежнему
должны удовлетворять условию
Определим общий вид матриц L0, Lv L2, L3 в этом случае.
Мы можем, очевидно, считать, что вектор ф из пространства R под действием
матрицы Lk переходит в вектор ? пространства R,
t = Lk ф. (26)
Если по-прежнему обозначить через {а)т] канонический базис представления
g-yVg в пространстве R, через {?/'?"'} - канонический базис представления
g-+Tg в пространстве R, а через х\т и у\'Ш'- координаты векторов Sj и ф
относительно базисов {olm\ и {?;'""'} соответственно, то равенство (26)
перепишется так:
х _____ хх' (к) х'
Xim - Clm; 1'т'У1'т' •
Числа Cim;Vm' составляют матричные элементы матриц Lk.
Вид этих чисел по-прежнему определяется формулами (13) -(19), где индекс
т относится к представлению g-+Vg, а индекс т' -к представлению g-> Тд,
причем компоненты т и т' зацепляются.
В дальнейшем мы подробно рассмотрим два примера релятивистски- -
инвариантных уравнений с х = 0: уравнение для так называемого
двухкомпонентного нейтрино и уравнения Максвелла для электромагнитного
поля в пустоте.
5. Уравнения, инвариантные относительно полной группы Лоренца. Как мы
видели (п. 2, (9)), для таких уравнений SL0 - L0S
П. 5] § 7. ОБЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 235
(5-оператор, соответствующий пространственному отражению s). Посмотрим,
какие условия это соотношение накладывает на матрицу L0 (т. е. на числа
схх').
Напомним, что неприводимое представление полной группы Лоренца содержит
либо одно, либо два неприводимых сопряженных друг другу представлений
собственной группы Лоренца т и т. Определяющие их пары
т ~ (-о* h) и ' (4> 4)
связаны соотношением
(4. 4) = ±(/0-¦'!)•
Отсюда в первом случае, когда т - т, либо /t = 0, либо /0 = 0.
Пусть по-прежнему пространство R, где дейстзует представление g -> Тд
полной группы, разложено в сумму подпространств R', в которых
представление собственной группы неприводимо. Очевидно, что вместе с
каждым подпространством Rz пространство R содержит также и
подпространство R'. Заметим, что если компоненты т и %' "зацеплялись",
ютит' также "зацепляются".
I. Рассмотрим сначала случай, когда т т и i' Ф т'. Оператор 5 в этом
случае запишется (см. формулы (7) § 3):
S<L, = (- Р-
' } (27)
SZim = (-j Подставив эти выражения в соотношение
L0S'im = SL0$m, (27')
получим сТ =сТ или, воспользовавшись (15) и (16),
Схх' = С.
П. Пусть т = т, а т' Ф i' (либо, наоборот, т Ф %, а т' = -:').
В этом случае оператор 5 имеет вид (см. (5) и (6) § 3)
Slim = (-if him (28)
или
S&" = (-1)11]+1&" (28')
И
= (28")
Снова подставляя в выражения для S и для Ц (27), получим: схх' - схх'
(если оператор S имеет вид (28)),
286
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
ИЛИ
с"' = - Ф~' (оператор S задается (28')).
III. Если, наконец, х = х и х'=.т', то легко видеть, что с~ ф О лишь
тогда, когда оператор 5 действует одинаково в пространствах и /?х , т. е.
одновременно, либо (см. § 3, (5) н (6))
S$rn = (- И 'S$m = (- l)!7|^m, (29)
либо
SSL = (- 1)1?1+!;L И Si]m = (- 1 f]+%n. (290
Других ограничений на числа стх' в этом случае не накладывается *)•
Итак, для матрицы L0 уравнения, инвариантного относительно полной группы,
имеем:
1. С"' = с"' (x=^t, Ф фФ). (30)
2. с~~' (т=?х, х7 = х' или х = х, х'^х'). (31)
При этом знак -f- берется, когда оператор 5 действует по формулам (28) и
(28"), а знак -, когда S действует по формулам (280 и (28").
3. При х = х и х' = Ф имеем
ф 0 (32)
лишь тогда, когда 5 действует одинаково в R' и , т. е. либо по формулам
(29) либо по формулам (290- Других ограничений на числа сл' в этом случае
не накладывается.
В случае уравнения (20) с -/. = 0, инвариантного относительно полной
группы Лоренца, условия, накладываемые на числа с"', остаются такими
же, как и для чф0 (см. (30) - (32)). Напомним
только, что компоненты х и х' принадлежат разным представлениям:
Ф- представлению g-+Tg, по которому преобразуются волновые функции, х -
представлению g-+Vv, с помощью которого преобразуется сама система (20).
6. Замечание об операторах Тд. Случай общей группы Лоренца. В самом
начале этого параграфа мы предположили, что волновые функции ф(х) частицы
при переходе от одной ортогональной системы координат к другой с помощью
преобразований Лоренца g преобразуются по некоторому представлению g -+Тд
группы Лоренца.
*) Заметим, что в случае наличия таких зацеплений часто можно несколькими
различными способами определить оператор S, не нарушив инвариантности
уравнения и не меняя матриц LТак как инвариантное уравнение определяется
не только матрицами Lk, но и законом преобразования величин i> (т. е.
представлением g-+Tg), то в этих случаях мы будем иметь, по существу,
несколько различных уравнений. Примерами таких уравнений, отличающихся
лишь видом преобразования S, могут служить скалярное и псевдоскалярное,
векторное и псевдовекторное уравнения (см. § 9).
