Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Мы показали в § 3, что при соответствующем выборе базиса
числа атх* в форме, инвариантной относительно представления полной
группы, имеют вид
1. azz* = 1 при не вещественном и не чисто мнимом, (25")
2. azz = ± 1 при I, вещественном или чисто мнимом. (25"/)
Вернемся после этого напоминания к матрице L0. Перепишем условие (24) для
базисных векторов §т
(J-^lrn' ^Нм"') = (?Ця" ^о^Ги"')- (26)
296 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ч. и
Отсюда получаем, подставив, выражение для L0 из (15) - (17) § 7 в формулу
(26), и, пользуясь (25):
cxvax'z'* _ с*'**а?*. (27)
Заметим, что если уравнение с матрицей L0 и форма (ф, ф)
инвариантны
относительно представлений полной группы Лоренца, то,
как следует
из формулы (25) и формул (30) и (31) § 7, никаких новых условий,
дополнительных к условию (27), не возникает.
Таким образом, условие (27) есть окончательное условие, которому должна
удовлетворять матрица L0 (т. е. числа сгг/) для того, чтобы уравнение
(19) получалось из инвариантной функции Лагранжа.
В частности, при соответствующем выборе базиса (так что атт* имеют вид
(25") или (25"')) получим:
схх' = (2Г)
при 1Х не вещественном и не чисто мнимом и
с"'=± (27")
при lt вещественном или чисто мнимом.
4. Величины, образуемые из волновой функции ф и инвариантной формы •).
Здесь мы покажем, как с помощью инвариантной формы (ф(, ф2) из компонент
волновой функции ф, ее частных
производных и матриц L0, Llt Lz, Lz релятивистски-инвариантного
уравнения можно строить различные величины, определенным образом
преобразующиеся при преобразованиях Лоренца.
Уточним, что мы понимаем здесь под словом величина. Напомним, что
значения функции ф (аг) преобразуются при преобразовании Лоренца по
представлению g -+Тд
ф (*') = 7^ф (at), х' = gx,
где преобразование Лоренца g действует на аргумент функции ф, а оператор
Тд - на ее компоненты.
Мы построим функции Ф (х), определенные в каждой точке четырехмерного
пространства со значениями в некотором пространстве R, которые при
преобразованиях Лоренца х' -gx будут преобразовываться следующим образом:
Ф(Х,) = ХдФ(х),
где %д - оператор из некоторого представления действую-
щего в пространстве R. Соответствующую функцию Ф(х) мы будем называть
скаляром, вектором, тензором и т. д. в зависимости от
¦ *) Б даль нейшем мы считаем, что форма (ф, ф) инвариантна относительно
представления полной группы Лоренца.
П. 4] § 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 297
того, какому представлению - скалярному, векторному, тензорному и т. д. -
эквивалентно представление g -" хд.
I. Вначале рассмотрим величины, не содержащие производных волновой
функции ф. Начнем с нескольких примеров.
а) Величина (ф, ф) является скаляром в силу инвариантности формы.
б) Пусть в пространстве величин ф можно выбрать оператор Т, коммутирующий
со всеми операторами Тд представления собственной группы Лоренца и
антикоммутирующий с оператором S, соответствующим пространственному
отражению s:
ТТд=ТдТ и ST=-TS.
В таком случае величина (7ф, ф) является псевдоскаляром, т. е.
преобразуется как скаляр под действием собственной группы Лагранжа и
меняет знак при отражении.
Действительно,
(ТТдф, Тдф) = {Т~1ТТдф, ф) = (ф, ф) для собственных преобразований
Лоренца и
(75ф, 5ф) = {S-'TSif, ф) = - (ф, ф)
для пространственного отражения.
в) Величина с компонентами tk = (Lkty, ф) образует вектор, т. е-
преобразуется так же, как и координаты (х0, xv х2, х3):
' *? = 2?*/,- (28>
Действительно, пусть х' -gx и ф'= 7 ф,
4 = (W, фО^гД^ф, ф).
В силу равенства (3) § 7 для матриц L0, Lu L2, L3 в релятивистски-
инвариантном уравнении, которое можно переписать в виде
Тд 1L]eTg = 2 gki^v
мы получим:
t'k = (2 guWb ф) = 2 8ы (Ц-Ь, ф) = 2&Ж-
г) Величина tk = (TLkф, ф) является псевдовектором (оператор Т
коммутирует с операторами Т , когда g принадлежит собственной группе
Лоренца, и антикоммутирует с оператором S).
д) Величина
tkjct = (LklLk$>, ф) преобразуется как тензор второго ранга
298 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИЛНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ч. II
Действительно,
^-СЧЧ^-СТУч**)-
2 sk'k gkk (lк ^к ф, <]>у 2 §кк §к к 4 к ¦
11 J -J \ 1 g / 112 3 12
Тензорное представление (29) приводимо. Поэтому величина tkikl может,
вообще говоря, принадлежать некоторому инвариантному подпространству в
пространстве всех тензоров второго ранга,
е) Величина с составляющими
4а = {TLkLk^, 6)
является псевдотензором (оператор Т тот же, что и в примерах б) и г)).
Общий случай: величина tklk,ka... кп = {LkiLkiLka ... LkJ}, ф)
преобразуется как тензор ft-го ранга
t'' г I = 2 S < S ' g ' ... S' ' t к к ... kn °k к °k к ° к к
к к ... ft
12 П 11 2 2 за ЯП 12 я
При этом, как и в случае тензора второго ранга, величины могут
принадлежать лишь некоторому инвариантному подпространству в пространстве
всех тензоров ранга и. Аналогично предыдущему величина
tkjb ...*" = (TLk^k* ¦ ¦ ¦ LkJ?, ф)
является псевдотензором.
В следующем параграфе в качестве примера мы построим рассмотренные выше
