Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Мы видим, таким образом, что не всякое релятивистски-инва-
риантное уравнение
= о (х?=0) (13)
может быть получено из инвариантной вещественной функции Лагранжа; для
этого необходимо, чтобы, во-первых, в пространстве значений функций ф(х)
'существовала невырожденная инвариантная билинейная форма (ф^ ф2) и, во-
вторых, для матриц Lk выполнялось равенство
(4Фо 'Ы = (фо Lk'h)- (14)
Аналогично предыдущему легко получить, что для того, чтобы реляти-
вистски-инвариантное уравнение с х=0
<15>
могло быть получено из инвариантной функции Лагранжа, необходимо, чтобы
относительно некоторой невырожденной эрмитовой формы (ф^ ф2) в
пространстве значений функции ф матрицы Lk удовлетворяли условию
= (16)
Инвариантности формы в этом случае не требуется.
Заметим, что в обоих случаях сама инвариантная функция Лагранжа может
быть построена с помощью формы (фх, ф2) и матриц Lk.
При этом при варьировании действия S = мы придем снова
к уравнению (13) при х=А0 или (14) при х = 0.
Заметим, что условия (14) и (16) будут выполнены для всех мат-
риц Lk, k=l, 2, 3, коль скоро они выполняются для матрицы L0:
(^•оФо Фг) - (Фь ^-оФг)* (1^)
Действительно, матрицы Lk получаются из L0 по формулам (6') § 7
Lk=- [BkL0] = ЦВк - BkL0 (к = 1, 2, 3),
где Вк-инфинитезимальный оператор представления g-+Tg, соответствующий
гиперболическому повороту gok (ср) в плоскости (х0, хft). Для операторов
Тд№ при малых ср напишем:
Твйк (?) = Е + VBk + 0 Подставляя последнее выражение в формулу
(ТдЬ> Tg'h) = ^v Ф2) и собирая члены одного порядка по ср, получим:
СЗДк Фг) = - (Фо ЗДа) или Вк = - В%. (18)
294 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИЛНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ч. и
Отсюда
Lk - (L0Bk - BkL0)+ = Вк Lo - LtBk = - BkL0-f- L0Bk = Lk, т. e.
(Lk^i, ф2) = (ф1, 1йф2).
Суммируя все сказанное выше, мы приходим к окончательному выводу:
релятивистски-инвариантное уравнение
l>W, + l>37+l^+L'&, + '"'/ = 0' °9)
в том и только том случае можно получить из инвариантной функции
Лагранжа, когда существует невырожденная инвариантная билинейная эрмитова
форма (фх, ф2), составленная из компонент волновой функции ф, для которой
выполняется соотношение
(^-оФ1> Фз) (Ф1 > ^-оФг) (20)
при любых ф! и ф2.
Релятивистски-инвариантное уравнение
L^0+LlS;+L2dr2+L3dr, = 0 (21)
тогда и только тогда можно получить из инвариантной функции Лагранжа,
когда существует невырожденная билинейная эрмитова форма (ф1( ф2),
относительно которой матрица L0 удовлетворяет условию
(10ф1, ф2) = (фк А)Фз)- (22)
(Инвариантности формы в этом случае не требуется.)
В обоих случаях сама функция Лагранжа строится из упомянутой эрмитовой
формы (ф^ ф2) и матриц, Lk, входящих в уравнение (19) или (21), по
формуле
^[Ф(*)]=1ш2(ф. ф)- (23)
Сделаем в заключение этого пункта следующее замечание.
Мы построили инвариантную функцию Лагранжа и с ее помощью действие S, а
само уравнение (19) получили варьированием действия S. Возникает при этом
вопрос, можно ли изменить функцию Лагранжа w2>, чтобы она тем не менее
приводила к прежнему уравнению (19). Наиболее важными преобразованиями
этого рода являются следующие:
1) умножение на вещественную константу cjg (с вещественно),
2) добавление выражения вида div Е (х), где Е (х) - какое-нибудь
векторное поле, заданное во всем пространстве /?(4)
Ч- div Е.
То обстоятельство, что преобразования над функцией Лагранжа
П. 3] § 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 295
1) и 2) не меняют получаемых из нее уравнений, иногда коротко формулируют
так: говорят, что функция Лагранжа определена с точностью до множителя и
слагаемого, типа дивергенции.
3. Уравнения, получаемые из инвариантной функции Лагранжа (окончание).
В этом пункте мы найдем условия, налагаемые на элементы матрицы L0, в
уравнении (19) (х=?0), получаемом из инвариантной функции Лагранжа.
Как было показано в предыдущем пункте, для того, чтобы реляти-вистски-
инвариантное уравнение могло быть получено варьированием инвариантной
функции Лагранжа, необходимо и достаточно, чтобы для некоторой
инвариантной формы ф2) выполнялось равенство
(^•о'К ' Фг) - (Фо ^-оФг)- (24)
Общий вид инвариантной невырожденной билинейной формы был нами найден в
§§2 и 3. Мы получили, что всякая форма, инвариантная относительно
представления собственной группы Лоренца, в каноническом базисе запишется
так:
(ф1> Фз) = 2 a'1*slxJlllyT,)t, (25)
где х1т и Уг*ш - координаты <j>x и ф2 в каноническом базисе, а az~*-
некоторые числа, отличные от нуля только для компонент, определяемых
парами t~(Z0, lt) и т*-(/0, -/х), причем ахх*- = sx = ztl.
Если форма ('{й, ф2) инвариантна также относительно представления полной
группы, то числа а11* подчинены дополнительному условию:
оп, = ±а"'!, (250
где т и т* - представления, сопряженные представлениям т и
^соответственно. При этом в случае, когда компоненты т и т* эквивалентны
своим сопряженным и, следовательно, неприводимы относительно
представления полной группы, оператор S должен действовать в этих
компонентах одинаково; в противном случае aTZ* - 0.
