Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 110

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 132 >> Следующая

'gXtiy^TgXfgXTlxT'g
(заметим, что представление g-->-(т^) эквивалентно представлению g^Tlg).
Очевидно, что величина общего вида Ф, квадратично зависящая от ф и ее
частных производных , преобразуется по представлению, содержащемуся в
сумме представлений *)
\тв х т;, твхтту и тдХт;. ту х ту.
Ш. Рассмотрим, наконец, величину Ф, квадратично зависящую
от функции ф и ее частных производных ^-1-~- до я-го
iL 0хг.1 ¦ • •
порядка включительно. .
Заметим, что при преобразованиях Лоренца частные производные
^- преобразуются по формулам
*J ^3 ig
{*') _ У *1*1 Uk, _ _ _ двф
dx's дх', ... дх[ 9 дхк дхк ... дхк
lL ls К з
Из этой формулы видно, что представление т(r), по которому преобразуются
частные производные ^^ ^ $х • является произведе-
г' га
нием представления Тд и Тд, где через ТУ обозначено представление,
действующее по формуле
г,... is 2 Sijtfiijc, • • • Siakjk, ... ftg>
в пространстве симметрических тензоров s-ro ранга.
*) Суммой представлений ..............7**\ действующих соответственно
в пространствах ¦.., R^8\ называется представление действующее в прямой
сумме этих пространств, причем так, что каждое пространство /Л1)
инвариантно относительно представления g-*~tg и последнее порождает в /?W
представление, совпадающее с Т^-
302 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ч. II
Теперь, как и в предыдущих случаях, найдем, что величина Ф, квадратично
зависящая от if и ее частных производных вплоть до п-го порядка,
преобразуется по представлению, которое содержится в сумме представлений
вида
TgXT*gX X if,
где las меняются от, нуля до п.
Сделаем в заключение одно замечание.
Представление (Tg X Т*д), как нетрудно видеть, в случае конечномерного
представления Тд, содержит лишь одни целые веса I. Такое представление
эквивалентно, очевидно, сумме тензорных представлений.
Любое произведение представлений Тд X Тд X Тд^ X Тд} также эквивалентно
сумме тензорных представлений. Таким образом, если волновая функция ф
преобразуется по конечномерному представлению, то величина Ф, квадратично
зависящая от ф и ее частных производных, преобразуется по представлению,
неприводимые компоненты которого эквивалентны неприводимым компонентам
тензорного представления. В связи с этим, величины Ф иногда называют
тензорами, квадратично зависящими от ф и ее производных.
Заметим, наконец, что величина Ф преобразуется всегда по однозначному
представлению собственной и полной группы Лоренца.
В заключение рассмотрим пример. Пусть представление Т состоит
'Т'(О) 1) 0)
из двух компонент: 1 д ' и 1д
'р __ 'т'(О) I) j 'pfi, 0)
1 д- 1 в "Г 1 в ¦
Через 71°'^ здесь, как и всюду в этой книге, обозначено непунк-
1 тЧН 0)
тирное спинорное представление ранга 1, а через 1д -
пунктирное представление того же ранга. Напомним, что представление
Т{д'1) определяется парой {^, у), а представление 7^1,0) -
парой ^------------- Найдем все неприводимые компоненты т,
содер-
жащиеся в произведении
тдхт*д.
Заметим, что Тд состоит из тех же компонент, что и Тд:
'pi^i 0) | *p(0i i)
lg- 1 д "г Lg •
Отсюда
Твхт1= 0)х 41,0) + Тд' 0)х Tf +if 1)х 41'0) + Tf' l)X т?'l).
п. 1] § 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 303
Разложим каждый из членов этой суммы на неприводимые (см. § 6).
Разложения Пары (Z0, 7,), задающие эти компоненты, таковы:
] у(1,0)^у(1,0) __ у(0,0) _|_ у(1,0) 2_ 7'<:1>о)ч^7'(ол) _ y(o,i)^y(i,o)
_ y(i,i) о у-(0.1)у 740,1) _ у(0,0) I г(0,2) а л в а ' а 4°'0) - *0 ~
(0,1); ~12~ (1,2) 0-2) г(ол, м х0 _ (0,1); (-1,2)
$
Итак, представление Тд X Тд собственной группы Лоренца состоит из шести
неприводимых компонент: двух компонент т0, двух компонент Tj и компонент
т2 и т2.
Этим компонентам соответствуют величины: в первом случае--скаляр, во
втором случае - вектор, наконец, в третьем случае (т. е. в случае
приводимого представления, состоящего из компонент т2 и т2)-
антисимметрический тензор.
Отметим, что во всех трех случаях представление собственной группы
Лоренца может быть дополнено до представления полной группы, причем в
третьем случае, так же как и в первых двух, получается "неприводимое
представление полной группы (подробнее об этом см. § 4, п. 8).
§ 9. Примеры релятивистски-инвариантных уравнений
Начиная с этого параграфа, мы будем рассматривать в основном физические
применения всей развитой перед этим теории. При этом возникает ряд
дополнительных ограничений, накладываемых физическими требованиями,
которые существенно сужают число рассматриваемых релятивистски-
инвариантных уравнений.
Вначале приведем несколько примеров релятивистски инвариантных уравнений.
В дальнейшем мы увидим, что эти уравнения являются наиболее
существенными. Например, все известные в настоящее время элементарные
частицы, по-видимому, описываются лишь этими уравнениями.
1. Уравнение Дирака. Возьмем два представления собственной группы: т,
определяемое числами ^у, yj (непунктирное спинорное
представление ранга 1), и т, определяемое числами ^-у, у^ (пунктирное
Предыдущая << 1 .. 104 105 106 107 108 109 < 110 > 111 112 113 114 115 116 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed