Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(•'Л, f) = (Tgf, Т/1%
означающему, что форма (ф^ ф2) инвариантна *).
Покажем^ теперь, что матрицы Ак в инвариантной функции Лагранжа _2Чф(л:)]
удовлетворяют условию (4). Напишем для этого более подробно условие (3):
пусть
ф(д:)= Тд1 ф(0. x'=gx,
-2Чф(*)] = 1т ^ +*(ф, ф) =
= 1т2^-1ф(дС'), A*77x2|| gl) + *(7$, 7^ф) =
= lm J U (.х0 ТдАкТд1 J] got (Ф. Ф) (5)
dx'J
(в последнем равенстве была использована инвариантность формы
(Фо Фг) )•
С другой стороны,
_2>(Ф (х')) = lm S ( Ф (*')> А* Щ +X (ф, ф). (50
*) Можно показать, что билинейная форма (4ч, ф2) инвариантна одновременно
с соответствующей квадратичной формой (ф, ф).
290 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ч. II
В силу инвариантности функции Лагранжа [ффЛ]-J? [ф (*')]• Окон-
чательно получаем:
lm J] U (.v'), А, fy) = lm V (x')t 2 gikTgAkTg-1
dxW . --V 4 у " djc;
" \ * / i \ 1с г
или
Im 2 ($ <*'>• (А* - 21 ^дл-1) Щ=°-. (5">
откуда *)
lLgikTgAkTgl - Ait
что совпадает с (4).
Итак, мы получили, что если функция Лагранжа с х=р0 инвариантна, то
определяющая ее форма (ф1; ф2) инвариантна, а матрицы Ак удовлетворяют
условию (4).
Обратно, функция Лагранжа, построенная с помощью инвариантной формы (ф1,
ф2) и матриц Ак, удовлетворяющих условию (4), инвариантна. Это
утверждение легко проверяется с помощью равенств (5) - (5'), переписанных
в обратном порядке.
Второй случай: х~0. В этом случае эрмитова невырожденная форма (фх, ф2)
может быть произвольной. При этом для инвариантности функции Лагранжа
необходимо и достаточно, чтобы матрицы Ак удовлетворяли условиям
Ъёис(Т+а)-'АкТ-'=.А{, - (6)
где операторы Та определяются так:
(Tgtyv Ф2) ~~ (Фо Тд ф2) при любых ф1; ф2. (7)
Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, заметим что
операторы образуют представление g^Vg группы
Лоренца: Vе - Е и V ау д, - Vд,дх. Подставив в формулу (6) вместо
оператора (Тд)~1 оператор Vд, мы получим соотношение
IignygAkT~1^Ai. (6'>
Это соотношение совпадает с выведенным в § 7 необходимым и достаточным
условием того, чтобы уравнение ^ Ак~^-0
к -0, I, 2, 3
было инвариантным относительно группы Лоренца (см. § 7, п. 4).
Таким образом, аналогично предыдущему случаю мы получаем,, что из матриц
в инвариантной функции Лагранжа с ч. - 0 можнсь построить релятивистски-
инвариантное уравнение с * = 0.
*) Можно показать, что если (фг, ф2) - невырожденная форма (т. е. на
того, что (ф, фо) = 0 при всех ф, следует, что ф0 = 0), то и 1т(ф1( ф2)
обладает тем же свойством: ф0 = 0, если Im (ф, ф0) = 0 при всех ф.
п. 2] § 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 291
Перейдем к выводу условия (6). Для этого запишем подробно левую часть
равенства
Я [ф (х)] = Im 2 (V Л, = Im J) (t^Z (х% \kT~lgik ==
= 1т2(ф(^)(^+)"1ЛА7'^Ш. (8)
дх]
Поскольку
дх,
^7[ф(ДС,)]==-2'[ф(^)1.
получаем:
к
Отсюда
S(7'+)-1Aft7^V" = Ai,
т. е. действительно матрицы Л* в инвариантной функции Лагранжа (1) с i=0
удовлетворяют условию (6).
Переписав выкладки (8)-(8') в обратном порядке, убедимся, что и,
наоборот, из условия (6) вытекает инвариантность функции Лагранжа с х =
0.
2. Уравнения, получаемые из инвариантной функции Лагранжа. Следуя
принятому в физике формализму, мы получим уравнения, описывающие нашу
частицу (уравнения движения), из условия, чтобы вариация действия 5
равнялась нулю.
Обозначим через Л+ матрицу, обладающую тем свойством, что при всех фх и
ф2
(Лф1, ф2) = (Фт. Л+ф2). (9)
Очевидно, что матрицы Лй (А = 0, 1, 2, 3) подобно матрицам Лй
удовлетворяют условиям (4) *).
*) То, что матрицы Ajf действительно удовлетворяют условию (4) для матриц
в релятивистски-инвариантном уравнении, легко показать так: запишем
условие (4) для матриц А*
2 ТдАкТд 1gii = Ai.
к
Отсюда, взяв + от обеих частей, получим:
'Ei(Tg1)+A+ (Tg)+gik = A + .
к
Ной в силу {инвариантности формы (Г"1 )+ = Тд, мы получаем '2iTgAfTglgtft
= A.f, что и требовалось доказать.^
292
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. И
Имеем:
SS = /8.2Ч<К*)] <***,
В^=1т + 4>) j -Ь v- (ф, 5ф) + х(8ф, <|>) =
=Im j S (л^ - 8*)+4 ^ 8ф- Нл*8*' Ш }+2* (Ф. 8*>=
-1т | 'Ъ (А*дГк' 8ф) ~ 2(Л* ЪГк> 8ф) J + 2х 8^ +
+ S^Im(Afc8^' ^ =
= 2ImJ ^- ) -Ц; + ^j ,8ф| 1т (л* &ф. ф).
Последний член при интегрировании дает нуль. Таким образом, из условия
8S= J %J?dix = 0 получаем:
Im|(S(A^*')l^ )*8ф} = °-
Отсюда
Е;Н^1;+^=С,*>- <>о)
к
Это и есть уравнение, описывающее поведение частицы. Оно, таким образом,
является уравнением Лагранжа - Эйлера для функционала
S (<!>) = fS'Wdtx.
Если положить
, _.._А* + АгЦ лп
Lk ---------2-------<*j <П)
то уравнение (10) перепишется в виде
(12>
к
Поскольку матрицы Lk удовлетворяют одновременно с Ай и А* условиям (4),
то это уравнение релятивистски-инвариантно.
Очевидно, что Lk - Lk, или, что то же самое, (L^, ф2) = (ф1, 1йф2) при
любых ^ и ф2- -
Заметим, что из последнего равенства следует, что квадратичная форма
(Lkty, ф) вещественна.
*1 См. примечание на стр. 290.
П. 2] § 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 293.
