Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
п. 6] § 7. ОБЩИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 287
Заметим, однако, что поскольку сами волновые функции ф(х) определены с
точностью до множителя, то и преобразования Тд, которым они подвергаются,
также могут быть определены только с точностью до множителя. Другими
словами, каждому преобразованию Лоренца g отвечает семейство операторов
~кТд, отличающихся множителем.
Можно показать, что в случае неприводимого представления для каждого
преобразования g можно выбрать множитель перед оператором Тд так, что
каждому преобразованию g будет отвечать либо один оператор Тд, либо два
таких оператора, отличающихся знаком: Тд и - Тд, причем должны
выполняться условия:
(33)
2) Тд,Тд=±Тд,т. 1 ;
В случае собственной (или полной группы) Лоренца мы приходим, таким
образом, либо к однозначному представлению этой группы, когда каждому g
соответствует ровно один оператор Тд, либо к двузначному ее
представлению, когда каждому преобразованию g отвечают два отличающихся
знаком оператора g^>-±Tg, причем эту неопределенность в Знаке уничтожить
нельзя.
Обратимся теперь к случаю общей группы Лоренца. Здесь, как мы знаем,
могут представиться два случая.
1. Операторы S, Т, J, соответствующие элементам группы отражений s, t, j,
коммутируют. В этом случае неопределенность в знаке у операторов S, Т, J
может возникнуть лишь из-за двузначного представления собственной группы.
Такие представления мы назвали однозначными представлениями общей группы.
2. Операторы S, Т, J антикоммутируют. В этом случае существенно двузначно
уже само представление
е~>±Е, s->zt5, (->г±;Г, j-yzrzJ
группы отражений и устранить эту неоднозначность невозможно (даже если
представление собственной группы и однозначно). Такие представления общей
группы мы назвали двузначными представлениями.
Итак, в случае собственной или полной группы Лоренца операторы Тд, по
которым преобразуются волновые функции ф(х), задают однозначное или
двузначное представление собственной (полной) группы. Также и в случае
общей группы, операторы Тд образуют либо ее однозначное представление (s,
t, j коммутируют), либо двузначное представление (S, Т, J
антикоммутируют).
Мы увидим ниже, что, например, волновые функции, удовлетворяющие
уравнению Дирака, преобразуются именно по двузначному представлению общей
группы.
Отметим в заключение, что в дальнейшем в этой книге не рассматриваются
уравнения, инвариантные относительно общей группы Лоренца (кроме примера
с уравнением Дирака).
283
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
§ 8. Уравнения, получаемые из инвариантной функции Лагранжа
Для физических применений излагаемой теории особенно интересны те
релятивистски-инвариантные уравнения, которые могут быть получены
варьированием некоторой инвариантной функции Лагранжа. С такими
уравнениями можно инвариантно связать ряд физических величин, например,
заряд, энергию, импульс, момент количества движения.
1. Инвариантная функция Лагранжа. Пусть частица описывается волновой
функцией ф(х), которая при преобразованиях координат с помощью группы
Лоренца преобразуется по представлению g -> Тд:
Пусть, кроме того, в пространстве R, где лежат значения волновой функции
ф(х), задана некоторая невырожденная билинейная эрмитова форма (ф1; ф2).
С помощью такой билинейной эрмитовой формы можно построить выражение,
называемое функцией Лагранжа, и некоторый билинейный функционал,
называемый действием.
Функцией Лагранжа называется выражение
Дадим теперь определение инвариантной функции Лагранжа и инвариантного
действия.
Функция Лагранжа называется инвариантной, если она не меняется при
преобразованиях Лоренца. Другими словами, при одновременной
Аналогично этому действие S (ф) называется инвариантным, если
ф (х') = Тд'Ъ (х), х' = gx.
-j-у.(ф, ф)
к-0, 1, 2, 3
(1)
к = 0, 1, 2, 3
где Л0, Aj, Л2, Л3 - некоторые матрицы.
Действием называется билинейный функционал вида
СО СО СО СО
- СО -СО -СО - 'СО
замене х' - gx и ф (х') - 71 ф (х)
(3)
5(ф) = 5(ф).
(30
П. 1] § 8. УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧАЕМЫЕ ИЗ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА 289
Очевидно, что инвариантной функции Лагранжа соответствует инвариантное
действие и инвариантное действие получается из инвариантной функции
Лагранжа.
Найдем необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция Лагранжа
была инвариантной. При этом возникают два существенно различных случая:
когда х^О и когда х = 0. Мы их рассмотрим в отдельности.
Первый случай: хфО. Покажем, что в этом случае функция Лагранжа
инвариантна тогда и только тогда, когда, во-первых, инвариантна эрмитова
форма (фх, ф2) и. во-вторых, матрицы Ак удовлетворяют условиям
'^LigikTgAbTg 1 = Af, (4)
т. е. с их помощью может быть построено инвариантное дифференциальное
уравнение (см. § 7, (3)).
Пусть функция Лагранжа инвариантна. Рассмотрим в качестве функции ф(х)
константу ф(л;) = ф0.
Поскольку ~~ = 0, то [ф (х)] = х (ф°, ф°). Условие инвариант-
ОХк
ности (3) сводится в этом случае, очевидно, к равенству
