ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Треугольник Паскаля и теорема Люка
Кстати, о Люка... Мне помнится, он был из великих дилетантов — в том смысле, что, хотя он и был знаком с большей частью высшей математики того времени, он воздерживался от серьезной работы над теми вещами, над которыми тогда было принято работать, посвящая весь свой талант свободной математической игре.
л
(Эрик Темпл Белл)
Наибольшую, пожалуй, известность французскому математику Блезу Паскалю принес названный в его честь треугольник, позволяющий легко вычислять число возможных сочетаний b объектов из общего их количества а. Это число, называемое биномиальным коэффициентом и обозначаемое (^), равно а\/Ъ\{а — Ь)\, где а\ = а х (а — 1) х (а — 2) х ... х 1,
a 0! = 1. Этот коэффициент играет центральную роль в теореме Ньютона о разложении бинома (отсюда и его название):
(а + Ъ)п = М а"6° + М an~1bl + Q ап~2Ь2 + ... + М ап~гЬЧ
+ ...+ ^ ^\а°Ьп, или (а + Ъ)п = f \ап~гЪг.
(10.21)
Рисунок Х.8а иллюстрирует процесс построения треугольника Паскаля; пустые ячейки матрицы заняты нулями.
Эдуар Люка (1842-1891), еще один французский математик, является автором огромного количества теорем в теории чисел. Он внес значительный вклад в изучение чисел Фибоначчи (кстати, именно он так окрестил этот знаменитый ряд чисел), которые он активно использовал для доказательства того, что тридцатидевятизначное число 2127 — 1 является простым.
3The World of Mathematics, ed. James R. Newman (New York: Simon & Schuster, 1956), p. 504.
Фрактальные решетки 223
b
Рис. Х.8а. Треугольник Паскаля и его построение.
1
1 1 1 1 11111
1
1
1 1 1
1
1 1 1
1 1 1 1111111
1
1 1 1 1 11111
Рис. Х.8Ь. р = 2.
В 1893 году4 было опубликовано его собрание математических развлечений «Recreations mathematiques»5. Люка принадлежит и одна очень изящная, но мало известная теорема, согласно которой при записи биномиального коэффициента (^,) по основанию р, где р — простое число, справедливо
4 Эрик Белл пишет в «Мире математики» («The World of Mathematics»): «Труд Люка «Theorie des nombres, premiere partie" («Теория чисел, часть первая» (фр.)- — Прим. перев.) (1891; продолжения, к сожалению, не последовало) — замечательная книга для любителей математики и специалистов в теории чисел, не слишком приверженных академическим канонам. Думаю, следует собрать все его разрозненные работы, а также разыскать и изучить неопубликованные рукописи» (с. 504).
5«Математические развлечения» (фр.). — Прим. перев.
224
Глава X
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2 1 2
1 2
1
1 1 1 2
Рис. Х.8с. р = 3.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 1
3 3
4 1
1
2 1
3 3
4 1
1
2 1
3 3
4 1
1
4
1
4
1
4
1
1 1
1
1
1
2
2
2
1
2
2
3
4
2
4
3
3
1
3 1
1 4 1
2
3 1
2 3 2
1
2 1
3 3
4 1
1
4
следующее тождество:
П
Рис. X.8d. р = 5.
(mod р)
i = 0, 1, 2, ...,
где 5] = {5])р, 82 = [5] )
Р'
(10.22 а)
Если рассматривать таблицу биномиальных коэффициентов как квадратную матрицу Р = [р7,7']> то тождество (10.22а) принимает вид:
Р7?7; _ П modP), * = 0,1,2,
(10.226)
Фрактальные решетки
225
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 3 3 5 1
1 6 1 6 1 6 1
1 1
1 1 1 1
1 2 1 1 2 1
1 3 3 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 4 6 4 1
1 5 3 3 5 1 1 5 3 3 5 1
1 6 1 6 1 6 1 1 6 1 6 1 6 1
1 2 1
1 1 2 2 1 1
1 2 1 2 4 2 1 2 1
1 3 3 1 2 6 6 2 1 3 3 1
1 4 6 4 1 2 1 5 1 2 1 4 6 4
1 5 3 3 5 1 2 3 6 6 3 2 1 5 3 3
1 6 1 6 1 6 1 2 5 2 5 2 5 2 1 6 1 6
Рис. Х.8е. р = 7.
свидетельствуя о том, что (Р mod р) есть фрактальная матрица. На рис. Х.8Ь-Х.8е представлены четыре примера, иллюстрирующие эту теорему (при р = 2, 3, 5, 7). Если через Pq обозначить верхний левый угол
(п)
