ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
5Donald F. Knut. Fundamental Algorithms (Reading, Mass.: Addison - Wesley, 1969). (Рус. перевод: Кнут Д. Искусство программирования, т. 1 Основные алгоритмы (М.: Мир, 1976).)
6Tobias Dantzig. Number: The Language of Science (New York: Doubleday, 1954).
7D’Arcy Wentworth Thompson. On Growth and Form, abr. ed. by John Tyler Bonner (Cambridge: Cambridge University Press, 1966).
8Eli Maor. To Infinity and Beyond (Princeton: Princeton University Press, 1991).
9Eli Maor. e: The Story of a Number (Princeton: Princeton University Press, 1994).
10Великий труд (лат.). — Прим. перев.
11 George Ifrah. Histoire universelle des chiffres (Paris: Editions Robert Laffont, 1994).
12 Arno Penzias. Ideas and Information (New York: W. W. Norton, 1989).
Введение: гномоны
Самым, пожалуй, прекрасным из многочисленных открытий Бернулли является равноугольная, или логарифмическая, спираль. Эту кривую можно встретить в узорах паутины, в ракушках на морском берегу, в завитках далеких туманностей ...
(Г. У. Тернбулл)1
Повторяет ли форма спиральных галактик форму логарифмической спирали? Определенного ответа на этот вопрос мы дать пока не можем (по причине отсутствия последовательной теории, объясняющей, как образуются галактики и почему они закручиваются в спирали2); остается лишь отметить, что спиральные галактики представляют собой самую большую упорядоченную структуру, когда-либо наблюдавшуюся человеком (см. рис. 1 цветной вкладки). Мы и сами живем в такой закрученной в спираль конфигурации небесных тел, причем разглядывать наше жилище мы можем только сбоку — чем, собственно, и объясняется его молочная белизна, давшая имя всему звездному скоплению.
Мы не только живем в спиральной раковине, подобно самым заурядным брюхоногим, — спирали окружают нас повсюду на земле, и, по всей видимости, практически ни одна форма жизни без них не обходится. Раковина моллюска Nautilus pompilius (см. цв. илл. 2) начинается с микроскопически малой затравки и растет все последующие годы, образуя последовательность камер, постепенно увеличивающихся в размерах по мере роста своего обитателя. Независимо от того, насколько большим вырастает моллюск, каждый последующий слой раковины сохраняет форму исходной затравки. Хотя в бараньих рогах, зубах бобра и когтях тигра никто не живет, эти образования растут точно так же, как раковина наутилуса, наращивая новое вещество у основания спирали, соединенного с телом животного. Паук Epeira не строит себе жилище вокруг собственного тела, однако свою паутину он сооружает в форме логарифмической спирали, которой фран-
lThe World of Mathematics (New York: Simon and Schuster, 1956), p. 147.
2Согласно Дэвиду Малину «сложность здесь заключается в том, что для получения хоть сколько-нибудь достоверных результатов необходимо учитывать наклонение галактики к плоскости эклиптики; спиральная же структура галактик весьма неустойчива и может легко измениться под влиянием гравитационных взаимодействий между ними и их ближайшими соседями».
Введение: гномоны
15
оооЗ
ОООо1
поооо
о9Ъ9&о° _ v оЯшЩш
d§§w*
О,
oJPdqq >00'
ШРХ°
Шпо
оооО1
о:
Рис. В1. Компьютерная модель изображенного на цветной иллюстрации 3 цветка, созданная автором: 34 левосторонних и 21 правосторонняя спираль (или парастих).
цузский энтомолог Жан Анри Фабр посвятил в своей знаменитой «La vie de l’araignee»3 специальное математическое приложение.
Те же логарифмические спирали управляют и размещением новых поколений ячеек в цветке подсолнечника (см. цв. илл. 3 и рис. В1), новых капустных листьев, а также чешуек ананасов и сосновых шишек; кроме того, в виде спирали часто закручиваются лепестки вокруг центра цветка и листья вокруг своей ветки. Леонардо да Винчи отмечает, что угол между вновь появляющимся листом и его предшественником (называемый углом расхождения) почти всегда постоянен. Этот феномен можно наблюдать на примере расположения ветвей дерева алоэ (см. цв. илл. 4).
Замечательно описывает присущее живым формам свойство самоподобия д’Арси Томпсон: «... характерной особенностью, например, спиральной раковины является то, что по мере своего роста она нисколько не изменяется; любой вновь выращиваемый фрагмент подобен предшествующему, в целом же на каждом из этапов роста общая форма остается той же, что и прежде»4.
3«Жизнь пауков» (фр.) — Прим. перев.
4On Growth and Form, ed. by John Tyler Bonner (Cambridge: Cambridge University Press, 1966), p. 179.
16
Введение: гномоны
Мы говорим, что во всех упомянутых конструкциях каждое последующее приращение образует гномон по отношению к структуре в целом.
Французский ботаник XIX века Луи Бравё и его брат Огюст, известный физик, обнаружили, что величина угла расхождения у многих видов растений приближается к 360°/2.618... (где 2.618... есть не что иное, как квадрат золотого сечения), из чего следует, что количество образуемых листьями или чешуйками спиралей (или парастихов), закрученных по часовой стрелке и против часовой стрелки, равно двум последовательным числам Фибоначчи (каким именно числам — зависит от скорости, с которой чешуйки сменяют одна другую). Как отмечал в 1790 году сам великий Гёте (который был, ко всему прочему, выдающимся естествоиспытателем,
