ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
На цветной иллюстрации 11 представлена еще одна метафора вышеприведенного выражения, на этот раз в виде графов, в которых прямыми линиями соединены соседние степени п. Сами числа п помещены в разноцветные круги, причем каждой степени (0, 1 или 2) соответствует свой цвет. Переход от графа (n +1)1 к графу (n +1)2 заключается в построении образа первого графа и параллельном его переносе с одновременным увеличением степени п внутри каждого круга на единицу; затем полученная в результате переноса фигура соединяется с исходным образом. Граф (п + I)1 получается из графа (п + 1)° = 1 аналогичным образом. Оба упомянутых переноса
Рис. 1.3. Диаграмма Венна для (тг+1)2 /г ¦ (2п + 1).
Ш-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
33
могут производиться по любым двум направлениям на плоскости — при условии, что эти направления не совпадают.
m-адические числа
Определим га-адическое число порядка п как целое число вида
(пт~1 + пш~2 + пт~3 + ... + п + 1).
Существует одно-единственное монадическое число (га = 1), а именно — единица. Диадические числа имеют вид (n +1), триадические — (п2 + n +1) и т. д. В таблице 1.2 представлены первые пять га-адических чисел вместе с соответствующими гномонами при значениях п от 0 до 5. В таблице 1.3 даны формулы для вычисления гномонов порядка п. Коэффициенты, соответствующие последовательным степеням п, приведены на рис. 1.5а; анализ этого рисунка, напоминающего до некоторой степени треугольник Паскаля, предлагается читателю в качестве самостоятельного упражнения.
Таблица 1.2. ш-адические числа и их гномоны
п 0 1 2 3 4 5
Монадическое число 1 1 1 1 1 1
Гномон 0 0 0 0 0 0
Диадическое число 1 2 3 4 5 6
Гномон 1 1 1 1 1 1
Триадическое число 1 3 7 13 21 31
Гномон 2 4 6 8 10 12
Тетрадическое число 1 4 15 40 85 156
Гномон 3 11 25 45 71 101
Пентадическое число 1 5 31 121 341 781
Гномон 4 26 90 220 440 774
Таблица 1.3. Формулы для вычисления гномонов ш-адических чисел
Монадические 0
Диадические 1
Триадические 2 + 2 п
Тетрадические 3 + Ъп + Зп2
Пентадические 4 + 9 п + 9п2 + 4 п3
Гексадические 5 + 14п + 19п2 + 14п3 + 5п4
34
Глава I
п 0 1 2
т= 1 (0) 0
т=2 (0) 1 0
т=3 (0) 2 2 0
т=4 (0) 3 5 3
т=5 (0) 4 9 9
т=6 (0) 5 14 19
О
4
c=a+b+1
О
5
О
у
Рис. 1.5а. Коэффициенты для таблицы 1.3.
1 1 2 3 5 8 13 21
Рис. 1.5Ь. Треугольник Паскаля.
Степени диадических чисел
Фигурное квадратное число порядка п представляет собой не что иное, как квадрат диадического числа (1 + п). На цветной вклейке 11 показано, как можно преобразовать граф числа (п + 1)° в графы (п + 1)1 и (п + 1)2. На вклейке 12 изображен переход от графа (п + I)2 к графу (п + I)3, заключающийся в параллельном переносе квадрата вдоль какой-либо третьей оси (т. е. граф получается уже трехмерный) с одновременным умножением
Ш-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 35
i
1 1 2 4 7 13 24 44 8
Рис. 1.5с. Вариант треугольника Паскаля для триадических чисел.
числа внутри каждого круга на п; затем полученная в результате переноса фигура соединяется прямыми линиями с исходной. Перед нами диадический куб, содержащий одну вершину с единицей, три вершины с п, три вершины с п2 и одну вершину с п3. Этой процедуре соответствует выражение
(n + I)3 = (n + I)2 + п(п + I)2 = п3 + 3 п2 + Зп + 1.
Значения индексов при вершинах получаются при изменении цифры ранга г с 0 на 1, происходящем при удвоении графа с размерностью i — 1 и его параллельном переносе. Читатель, очевидно, уже заметил, что показатель степени числа п в любом из кругов (вершин графа) оказывается равным количеству единиц в соответствующем индексе. На цветной вклейке 13 даны изометрические диаграммы и диаграммы Венна для (п + I)3. И здесь можно отметить, что показатели степени числа п в соседних областях всегда различаются лишь на единицу. На вклейке 14 изображена процедура построения четырехмерного диадического гиперкуба, состоящая в параллельном переносе трехмерного куба вдоль некоторой четвертой оси. Можно рассматривать этот рисунок как проекцию четырехмерного гиперкуба на плоскость. Цветовая кодировка дается в соответствии с показателями степени при п в разложении (п + I)4 = п4 + 4n3 + 6п2 + 4n + 1. Отметим
36
Глава I
Рис. 1.6. Центральная проекция четырехмерного диадического гиперкуба.
снова, что показатель степени числа п в любой из вершин графа равен числу единиц в соответствующем индексе (или его весу). Рис. 1.6 представляет собой двумерное изображение проекции диадического четырехмерного гиперкуба на трехмерное пространство. На иллюстрации 15 цветной вклейки представлена плоская проекция диадического пятимерного гиперкуба, соответствующего выражению (п + I)5 = п5 + 4п4 + 10n3 + 10n2 + 4n + 1.
