ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Римлянам, судя по всему, египетские обелиски очень понравились; они даже перевезли несколько штук через Средиземное море для украшения своего родного города, в результате чего в Риме сегодня находится — ни много ни мало — тринадцать обелисков, тогда как в самом Египте их осталось
_ о
всего четыре; кроме того, по одному обелиску есть в Париже, Нью-Иор-ке, Лондоне и Стамбуле, причем многие из этих «увезенных» обелисков приобрели навершия в виде крестов и используются как солнечные часы (рис. В9).
Хотя нам достоверно известно, что солнечные часы были изобретены египтянами за восемь столетий до Анаксимандра, предположение о том, что обелиски Древнего Египта служили для измерения времени, представляет собой не что иное, как типичный случай «романоморфного» подхода к истории.
11 Большое количество таких орнаментов можно найти в книге Кейт Кричлоу «Исламские орнаменты»: Keith Critchlow. Islamic Patterns (London: Thames and Hudson, 1976).
12Labib Habashi. The Obelisks of Egypt (Cairo: American University in Cairo Press, 1988).
26
Введение: гномоны
о
Л ft
L
Рис. В9. Три египетских обелиска из тех, что находятся в Риме. Особый интерес представляет обелиск, изображенный справа и известный под названием Солнечный обелиск Монте-Читорио. Он используется в качестве гномона; кроме того, в шаре на его верхушке имеется отверстие (проделанное в 1788 году), проходя через которое узкий луч солнца падает на особым образом уложенные камни мостовой, что позволяет определять направление меридиана.
Глава I
Фигурные и m-адические числа
Во введении мы вкратце обсудили треугольные и квадратные числа1. В данной главе мы исследуем и эти числа, и некоторые из более сложных. Кроме того, мы поговорим еще об одном семействе чисел, так называемых m-адических числах, и подробно рассмотрим диадические и триадические числа.
Фигурные числа
На иллюстрации 9 цветной вклейки показаны фигурные числа первых четырех рангов, причем для каждого ранга приведены числа первых четырех порядков, соответствующих п = 1, 2, 3, 4; из соображений удобства будем считать, что при п = 0 любое фигурное число равно нулю. Фигурное число ранга b и порядка п равно, таким образом, п + п (п + 1) 6/2. Например, треугольное число порядка п равно п(п + 1)/2, а квадратное число порядка п равно п2. Начиная с античных времен, фигурные числа и их удивительные свойства продолжают завораживать математиков. Ферма высказал предположение, что любое целое число может быть представлено в виде суммы не более чем т m-угольных чисел. Возьмем, например, целое число 15. Получаем следующие суммы:
Треугольные числа: 15 = 6 + 6 + 3.
Квадратные числа: 15 = 9 + 4 + 1 + 1.
Пятиугольные числа: 15 = 5 + 5 + 5.
Шестиугольные числа: 15 = 6 + 6 + 1 + 1 + 1.
Семиугольные числа: 15 = 7 + 7 + 1.
Гаусс в своем трактате «Disquisitiones arithmeticae»2 сумел доказать это предположение для случаев треугольных и квадратных чисел. Общее же доказательство было получено позднее, и автором его является Коши. К этому
гЭта глава — в большей степени, нежели другие главы настоящей книги — обязана своим
появлением трудам Мартина Гарднера, которому автор бесконечно признателен.
2«Арифметические изыскания» (лат.) — Прим. перев.
28
Глава I
Таблица I.la. Фигурные числа и их гномоны Треугольные числа
п 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Т 0 1 3 6 10 15 21 28 36
Т' 1 2 3 4 5 6 7 8 9
п
гп!! 1 1 1 1 1 1 1 1 1
п
Квадратные числа
п 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Sn 0 1 4 9 16 25 36 49 64
Ч' 1 3 5 7 9 11 13 15 17
п
Off 2 2 2 2 2 2 2 2 2
оп
Пятиугольные числа
п 0 1 2 3 4 5 6 7 8
р 0 1 5 12 22 35 51 70 92
1 п
р' 1 4 7 10 13 16 19 22 25
п
Р" 3 3 3 3 3 3 3 3 3
п
моменту все остальные гипотезы Ферма были самым тщательным образом рассмотрены и доказаны, исключением является лишь его знаменитая «последняя теорема», доказательство которой потребовало нескольких веков упорного труда многих математиков, завершенного совсем недавно Эндрю Уайлзом.
Пусть у нас есть некое фигурное число ранга 6 и порядка п. Какое число следует добавить к нему, чтобы получить число порядка (п + 1)? Найти такое число несложно:
(п + 1) +
(п + 1 )nb
п +
п(п — 1)6
1 + пЪ.
Таким образом, гномон фигурного числа равен в общем случае 1 + пЪ. Тривиальное семейство чисел, получаемое при 6 = 0, можно назвать линейным. Линейное число порядка п есть не что иное, как само число п, а гномон его равен 1. Соответствующая геометрическая фигура представляет собой п-угольник, все стороны которого сжаты в одну прямую. В таблице 1.1а даны первые несколько треугольных, квадратных и пятиугольных чисел (Tn, Sn и Рп соответственно), а также их гномоны Т^, S'n и Р^. Отдельной строкой даны числа Т", S'" и Р", т. е. гномоны гномонов, которые совпадают с целым числом 6. Очевидно, что фигурное число ранга п равно сумме его первых п гномонов, а сумма первых п нечетных чисел равна п2.
