ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
Иррегулярная фрактальная ломаная: пятиугольная «Эйфелева башня».................................................251
Приложение: некоторые упрощающие обозначения...................253
Предметный указатель..............................................263
Предисловие
Удивительной спиралью Бернулли я заинтересовался еще будучи студентом технологического факультета Каирского университета (хотя этот интерес так и не достиг того мистического накала, каким характеризовалось отношение к своему открытию самого Бернулли), в особенности же меня интриговало ее родство с фазовыми картинами систем затухающих колебаний, изучаемых в технических школах и колледжах. Почему, спрашивал я себя, уравнения, описывающие колебания простого маятника, в точности совпадают с уравнениями индуктивно-емкостно-резистивного контура, если не считать того, что математические символы в каждом из случаев имеют различный физический смысл?
Разумеется, в рассматриваемых физических системах неизбежно происходят потери энергии, в результате чего эти системы приходят в конце концов в состояние покоя. Почему же спиральная фазовая картина одинаково хорошо описывает характер зависимости друг от друга обеих пар величин (т. е. координаты точки и ее скорости в одном случае и напряжения и силы тока — в другом)?
Подобно многим другим практикам от математики, я одно время забавлялся с числами Фибоначчи, отмечая их поразительное сродство с непрерывными дробями и спиралями. Кстати говоря, в основе некоторых разработанных мною типов электрических фильтров лежат именно непрерывные дроби. В свободное время я собирал из струн и блоков маленькие механизмы, способные вычислить квадратный корень из двух и преобразовать число из двоичной записи в десятичную и обратно. После определенного ознакомления с непрерывными дробями, связанного с необходимостью вычисления иррациональных величин, выяснилось, что идеальными метафорами для этих в высшей степени необыкновенных дробей являются прямые предшественники логарифмической спирали — так называемые витые фигуры.
Я не нашел в себе сил сопротивляться очарованию золотого сечения и его многочисленного семейства, а когда узнал из статьи Иэна Стюарта в «Сайентифик Америкен»1 о числах Падована, так и вовсе пришел в полный восторг. Рассматривая равносторонние треугольники, я неожиданно обнаружил странный маленький пятиугольник, обладающий некоторыми инте-
lIan Stewart. Tales of a Neglected Number (,Scientific American, June 1996), pp. 92-93. (Здесь и далее — примечания автора, за исключением особо оговоренных. — Прим. перев.)
Предисловие
11
ресными свойствами золотого прямоугольника, и назвал его, по аналогии, серебряным пятиугольником.
Познакомившись с «Фрактальной геометрией природы» Бенуа Мандельброта2 и «Красотой фракталов» Хайнца Пайтгена и Петера Рихтера3, я вспомнил о своей докторской диссертации 1959 года, в которой я широко пользовался кронекеровым произведением, и нашел, что это самое произведение способно весьма изящно генерировать простые фракталы — т. е. в большинстве случаев самоподобные фигуры и узоры.
Я никуда не мог скрыться от логарифмических спиралей — они заполонили все вокруг! Казалось, что логарифмическая спираль олицетворяет собой самую сущность самоподобия, для обозначения которого я даже изобрел собственный термин — гномонностъ. Именно самоподобие является центральным понятием этой книги.
Определение гномона было дано еще Героном Александрийским. По Герону, гномон — это фигура (под термином фигура здесь понимается геометрическая фигура или просто число), которая, будучи добавлена к какой-либо другой фигуре, образует новую фигуру, подобную исходной.
Вводная глава посвящена самому термину гномон, истории его возникновения и употребления. Начнем мы с исторического обзора — поговорим о гномонах в Древней Греции, развеем некоторые широко распространенные заблуждения, согласно которым египетские обелиски являются гномонами, и проследим этимологию слова гномон в его самом первом значении («нечто, что позволяет узнать») до древнеегипетских слов сетилат и мерк-хет.
В первой главе рассматриваются фигурные числа, приведшие древних греков к понятиям гномона и числового подобия. Далее мы исследуем m-адические числа, гамильтоновы пути на поверхностях трех- и четырехмерных тел, некоторые их практические приложения — такие, например, как двоичные (диадические) и троичные (триадические) коды Грея и кодирующие диски, — и поговорим о таких классических играх, как «ханойская башня» и «багенодьё».
Ключевую роль в исследовании самоподобия играют числовые последовательности, которые я называю здесь последовательностями Фибоначчи порядка га, где Fm?n+2 = Fm,n + ™Fm,n+1- В главе III приводятся явные выражения для вычисления n-го члена таких последовательностей и отмечается их родство с непрерывными дробями. Наконец, устанавливается связь между последовательностями Фибоначчи и гиперболическими и тригонометрическими функциями при очень малом га.
