ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
ное отношение (отношение длины длинной Рис. VI.l. Построение золотых стороны к длине короткой) каждого из этих прямоугольников, прямоугольников равно золотому сечению.
Если к длинной стороне «божественного» прямоугольника добавить квадратный гномон, то полученный при этом прямоугольник также будет божественным. Иными словами,
длина длина + ширина ширина длина
Если рассечь (поэтому, собственно, оно и называется сечением) отрезок BF (рис. VI. 1) на отрезки АВ и AF таким образом, чтобы «среднее отношение» AF/AB было равно ф, то «крайнее отношение» BF/AF также будет равно ф. Эквивалентное утверждение: мантисса золотого сечения ф' = = 0, 6180339 ... такова, что верно равенство 1 + ф' = 1/0'.
С
В
128
Глава VI
Рис. VI.2а. Левосторонний витой золотой прямоугольник.
Витой золотой прямоугольник
На рис. VI.2а изображен левосторонний1 завиток с началом из внутреннего пщмоутолышш-затравки ABCD с вертикальной пропорцией ф. Чтобы не тратить впустую бумагу, показаны только начальные этапы бесконечного процесса построения. Уравнению (6.5с) соответствует запись
ВС = СЕ = EG = GI = ,
АВ ВС СЕ EG
Если изменить направление движения на противоположное, то мы получим правосторонний витой прямоугольник, для которого
, __ 1 _ Ф~ 1 _ 2~Ф = 2ф~3 (
Ф ф-1 2 — ф 2ф — 2> 5-3ф ¦" [ ' J
Рис. VI.2Ь демонстрирует одно замечательное свойство золотого сечения:
при добавлении квадрата ADEF к прямоугольнику ABCD, вертикаль-
1 Левосторонний — расширяющийся или разворачивающийся в направлении против часовой стрелки.
Завиток Фибоначчи
129
Е D С J
Рис. VI.2Ь. Квадратный гномон золотого прямоугольника.
ная пропорция2 которого равна золотому сечению, получаем прямоугольник BCEF, горизонтальная пропорция которого также равна золотому сечению. Квадрат ADEF является гномоном прямоугольника ABCD. Аналогично, квадрат BFGH есть гномон прямоугольника BCEF и т.д. Это свойство, очевидно, находится в соответствии с тем, что все неполные частные непрерывной дроби (6.3b) равны единице.
Завиток Фибоначчи
На рис. VI.3 изображен левосторонний завиток, начинающийся с квадратной затравки со стороной единичной длины (серый квадрат). Затем слева добавлен еще один квадрат со стороной 1, затем снизу — квадрат со стороной 2, затем — квадрат со стороной 3, квадрат со стороной 5, квадрат со стороной 8 и т. д. Процесс можно продолжать до бесконечности, получая на каждом этапе следующее число Фибоначчи.
Важное замечание: то, что выглядит на рисунке как логарифмическая спиральная огибающая, логарифмической спиралью в действительности не является. Спираль на рис. VI.2а имеет полюс О и порождающие диагонали CG и EF, на которых лежат последовательные вершины; на рис. VI.3 ничего подобного нет. Изображенная здесь спираль приближается к лога-
2Напомним, что под термином вертикальная пропорция мы понимаем отношение длины вертикальной стороны прямоугольника к длине его горизонтальной стороны, термином же горизонтальная пропорция обозначается обратное отношение.
130
Глава VI
Рис. VI.3. Завиток Фибоначчи.
рифмической только после большого числа итераций. Завиток на рис. VI.2а имеет правильную затравку, у завитка же на рис. VI.3 затравка неправильная. Спиральная огибающая витой фигуры является логарифмической только при наличии правильной затравки.
Витой золотой треугольник
Есть серьезные основания полагать, что этот треугольник изучался пифагорейцами особо, поскольку он лежит в основе многих интересных геометрических построений — таких, например, как правильный пятиугольник и его мистическая «пентальфа» или «пентаграмма», а также целого ряда других столь любимых математиками древности любопытных фигур, наиболее выдающейся из которых является правильный пятиугольный додекаэдр, символизировавший саму Вселенную и завершающий евклидову геометрию.
л
(д’Арси Уэнтворт Томпсон)
На рис. VI.4 приведен один из красивейших примеров геометрических гномонов и самоподобия — последовательные этапы построения витых равнобедренных треугольников. Здесь можно наблюдать два семейства равнобедренных треугольников: «остроугольное» и «тупоугольное». Угол
3Оп Growth and Form, p. 183.
Витой ЗОЛОТОЙ ТРЕУГОЛЬНИК
131
Рис. VI.4. Витой золотой треугольник.
при основании остроугольного треугольника СВ А составляет 72° или тг/5. Угол при вершине А, таким образом, равен 36°. Остроугольный треугольник DC В подобен треугольнику С В А, который получен добавлением тупоугольного треугольника BAD к треугольнику DC В. Треугольник BAD является гномоном треугольника DCB, а углы при его основании равны 36°.
