ГНОМОН. От фараонов до фракталов - Газале М.
ISBN 5-93972-171-0
Скачать (прямая ссылка):
132
Глава VI
Рис. VI.5. Элементы мозаик Пенроуза.
При тщательном рассмотрении фигуры обнаруживается, что треугольник DC В сам получен посредством добавления к остроугольному треугольнику СED его гномона, тупоугольного треугольника СЕВ. Процесс можно повторять бесконечно — каждый остроугольный треугольник оказывается равным сумме подобного себе остроугольного треугольника и соответствующего гномона, причем все гномоны также подобны. Отношение длины длинной стороны остроугольного треугольника к длине его основания равно все тому же магическому золотому сечению. Интересно отметить, еп passant4, что из этих треугольников построены две элементарные фигуры (рис. VI.5), которые Роджер Пенроуз использовал для своего иррегулярного замощения плоскости (см. цв. илл. 23Ь). Кроме того, именно такой треугольник Г. А. Набер в своей книге «Теорема Пифагора»5 окрестил неудобопроизносимым «Dreifachgleichschenkliges Dreieck»6.
Витой пятиугольник
На рис. VI.6 изображен витой пятиугольник, радиус которого умножается на золотое сечение при каждом повороте на 72°, так как длина основания каждого золотого треугольника равна длине длинной стороны его предшественника.
Золотое сечение: от античности до эпохи Возрождения
Да не прочтет сих принципов тот, кто чужд математике.
(Леонардо да Винчи)
Золотое сечение присутствует (или предполагается) при всяком разделении окружности на пять или десять частей, мысль же о таком разделении могла, вероятно, прийти в голову еще первобытному человеку, поскольку на
4Мимоходом, между прочим (фр.)- — Прим. перев.
5Н. A. Naber. Das Theorem der Pythagoras (Haarlem, 1908).
6Трижды равнобедренный треугольник (нем.). — Прим. перев.
Золотое сечение: от античности до эпохи Возрождения
133
Рис. VI.6. Витой пятиугольник с последовательностью «божественных треугольников».
руке у него было пять пальцев, а в окружающей природе он мог наблюдать бесчисленные примеры пятисторонней симметрии: цветы, раковины и т. д. (рис. VI.7). Уже почти наш современник Иоганн Кеплер был, например, убежден, что у большинства цветов — пять лепестков. Таким образом, предки могли неосознанно познакомиться с золотым сечением, пытаясь изобразить правильный выпуклый пятиугольник или пятиконечную звезду. Начнем нашу экскурсию с так называемого египетского прямоугольника, показанного на рис. VI.8а. Его диагональ АС равна у/1 + ф = ф, т. е. длины сторон АВ, ВС и СА треугольника ABC образуют геометрическую прогрессию со знаменателем у/ф. Более того, треугольники CD А и DEA подобны. Таким образом,
ЛЕ AD АЕ={-^ = 1 => Щ = ф.
AD АС АС АС
Иными словами, точка Е делит диагональ прямоугольника на два отрезка, отношение длин которых равно отношению длины диагонали к длине более длинного из них.
Говорят, что древнегреческий историк Геродот узнал от египетских жрецов о том, что квадрат высоты Великой пирамиды равен площади ее треугольной боковой грани (рис. VI.8Ь), что означает, что отношение высоты пирамиды h к половине длины стороны ее квадратного основания Ь/2
134
Глава VI
Рис. VI.7. Пятисторонняя симметрия панциря плоского песчаного морского ежа.
Рис. VI.8а. «Египетский» прямоугольник. Рис. VI.8Ь. Египетская пирамида.
в точности равно золотому сечению. До сих пор остается спорным, знали ли египтяне о золотом сечении как таковом, или просто случайно наткнулись на него, как утверждают многие критики математического таланта египтян. Как бы то ни было, первоначальная высота пирамиды h, в соответствии с наиболее достоверными оценками, составляла 280 королевских локтей, а ее основание b насчитывало 440 локтей7. Таким образом, отношение h/{b/2)
7Королевский локоть равнялся приблизительно 52, 5 см, т. е. длине человеческого предплечья. Королевский локоть делился на семь ладоней по 7, 5 см, а ладонь, в свою очередь, составлялась из четырех пальцев по 1, 875 см. Английское название этой меры длины cubit происходит от латинского слова cubitum, что означает «локоть». Французы также иногда пользуются аналогичной устаревшей мерой длины, называемой coudee.
Золотое сечение: от античности до эпохи Возрождения 135
равно 14/11 = 1,27272.... Сравните это число с у/ф ~ 1,27202. Разница составляет всего лишь 0, 06%. Может быть, именно поэтому треугольник на рис. VI.8а называется египетским треугольником! Согласно данным Р. Дж. Джиллингса угол наклона (или секед) в треугольной грани пирамиды составляет 51° 52'. Сравните это значение с arctg у/ф = 51° 49' 38".
Перейдем к древним грекам: некоторые авторы полагают, что Парфенон, построенный архитекторами Актином и Калликратом в сотрудничестве с Фидием и освященный в 438 году до н.э., является первым воплощением золотого сечения в архитектуре. Храм будто бы вписывается в золотой прямоугольник (как показано на рис. VI.9а) и является моделью для последующих греческих построек.
