Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
траектории порождает отклонение, которое с ростом t растет, как еи.)
Вышеприведенные качественные соображения подсказывают путь, на котором следует искать устойчивый метод решения такой краевой задачи: надо работать не с индивидуальными решениями, а с многообразиями. Что это означает практически? Стандартный метод решения краевых линейных задач, описанный в § 8, — пример метода, основанного именно на использовании подходящего набора индивидуальных решений дифференциального уравнения. Они неустойчивы, вычислительно неустойчивым оказывается и такой «школьный» алгоритм.
Перейдем к методам, в которых используются многообразия R~(t), R+(I)- Есть два стандартных, двойственных друг другу способа описания линейных подпространств R(t) размерности г (где t — параметр, R(t) —г-мерная гиперплоскость в Rn при каждом /).
1. Достаточно знать некоторую точку X(t) Є R(t) и г векторов (обозначим их е,, е2, ..., ег(1)), образующих базис в R(I), и тоща
R(t) есть множество точек х Є Rn вида
Г
X = X(t) +2 а, (6)
/=1
где а — произвольные числа.
2. Можно выделить R(t) системой п — г линейных уравнений, имеющих ту же форму, в которой заданы краевые условия
(х, li(t)) = bi(t), і = I, 2, ..., п — г, (7)
где Ii(I) — система п — г линейно-независимых векторов в Rn, bn(t) — некоторые числа.
Способ вычисления X, е; был указан выше. Почему же он в такой форме не пригоден? Причина в том, что не всякие формально правильные базисы приводят к устойчивому представлению многообразия. Хорошими являются ортогональные и близкие к ним базисы, плохими — сильно «сплюснутые» базисы, векторы которых хотя
248
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
и линейно-независимы, но очень близки друг к другу. Рисунок 26 поясняет сказанное. Каждый из двух базисов, изображенных на рисунке, описывает в трехмерном пространстве плоскость рисунка. Если вектор C1 подвергнуть малому возмущению, добавив малый вектор, ортогональный плоскости рисунка, то в первом случае определяемая базисом новая плоскость лишь на малый угол отклонится от первоначального положения, во втором случае (если возмущение по модулю сопоставимо с разностью
Рис. 26 е2 — ei) новая плоскость может стать почти ортогональной по отношению к плоскости рисунка.
При интегрировании задачи Коши (слева-направо) с начальными значениями х(0) = et, образующими линейно-независимый, близкий к ортогональному базис, по мере роста времени t базис C1(I), e2(t), ..., er(t) начинает вырождаться. В каждом решении выделяются быстро растущие вправо компоненты, на фоне которых остальные «теряются» и даже пропадают из конечной разрядной сетки машинного представления чисел: происходит «сплющивание» базиса, и он уже определяет нужные нам многообразия неустойчивым образом.
Однако нам нужны сами подпространства R~(t), R+(t), а не их частные представления. Поэтому можно бороться с вырождением, исправляя базис через какие-то отрезки времени. Следует иметь в виду, что хороший базис при интегрировании не сразу становится плохим. Для того чтобы растущие экспоненты «задавили» все остальные, нужно некоторое время. Эти соображения и лежат в основе метода прогонки с ортогонализацией, предложенного С. К. Годуновым.
Перейдем к более аккуратному описанию метода. Прежде всего предположим, что векторы I1 (i = 1, 2, ..., к), входящие в левые краевые условия, ортогональны друг к другу (если это не так, можно перейти к эквивалентной системе краевых условий, ортогонали-зовав векторы Ij). Более того, дополним совокупность векторов
Ij(O) = Ii (i = 1, 2, ..., к) — нам удобно именно такое обозначение этих векторов — до полной ортонормированной системы векторов Ij(O) (і = I, 2, ..., п). Левые краевые условия теперь можно записать в виде (IJ(O), х(0)) = Aj (г = 1,2,..., к).
Начнем интегрировать слева-направо п — к + 1 задач Коши. Их решения обозначим через X0, Xі, ..., Xn~k(t). Вектор X°(t) — это «какое-то» решение неоднородного уравнения. Определим его следу-
к
ющими данными Коши: X0(O) = Jbi Ii(O). Очевидно, выполняются
/=1
условия
= + (X0(O), IJ(0)) = bt, і= I, 2, ..., к.
ЖЕСТКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
249
Остальные п — к векторов Xy(Z) определяются данными Коши для однородной системы:
*у'(0) = /*'+,(0), ;=1,2,
Тогда конструкция (5) при произвольных а ¦ дает все решения системы (1), удовлетворяющие левым краевым условиям, и описывает многообразие R~(t).
Однако это плохое описание, так как точка X0(Z) состоит в основном из растущих со скоростью еи решений, т.е. она находится далеко от искомого решения, которое в силу (3) ограничено (0(1)).
При этом погрешности в вырождающемся при росте Z базисе Xi(I) (j = 1, 2, ..., п — к) приводят к очень большому отклонению представления (5) от точного многообразия R~(t). Мы заинтересованы и в качестве базиса, и в том, чтобы «начало координат» X0(t) находилось на расстоянии 0(1) от искомого решения x(t). Как уже отмечалось, эффект жесткости системы не сразу приводит к столь неприятным последствиям. При малых временах Z разница между еи и е~и еще не очень велика.
