Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Re At > + L, I Im At I < L, і = 1, 2, ..., J+;
3) мягкий спектр образуют собственные значения Kj, удовлетворяющие условиям
I \;\ ^l, }= 1,2, Г +I+ + /= П.
Число LU»1 является характеристикой жесткости системы. Кроме того, мы считаем, что Tl = 0(1), TL >> 1. Качественная структура решения в этом случае хорошо известна, ее легко угадать из общих соображений: решение содержит два пограничных слоя — левый и правый. Это следует хотя бы из вида общего решения однородной задачи
*(0 = 2 cT*7 + 2 ФГ + 2 cJ^ Ъ'
' і j
где Ф~, ФЇ, ipj — собственные векторы А, соответствующие выделенным выше частям ее спектра. При обобщении анализа на случай
§ 181
ЖЕСТКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
243
переменной матрицы A(t) мы предполагаем, что спектр не претерпевает существенных изменений при разных t, т.е. число точек в каждой части спектра остается постоянным.
Область приложения численных алгоритмов, о которых пойдет речь, конечно, намного шире. В частности, точки спектра могут, так сказать, «непрерывно» заполнять интервал [—L, L\, и разделение спектра на жесткую и мягкую части становится достаточно условным. Проблемы, которые рассматриваются ниже, отличаются от изложенных в § 17. Предположим, что величина |Щ|Г большая, но не очень. Использование в расчетах сетки с шагом ||Л||т<зс1 (на практике «много меньше единицы» означает величину 0.1 или
0.01, например) приемлемо с точки зрения объема необходимой памяти и количества арифметических действий. Будем считать, что именно такой шаг используется в простой разностной схеме (второго порядка)
X ,, —X X + X . ,
”1+1 W — л т m + l ..L „
T ~лт + Ч2 2 “m + 1/2’ (jJ
т = 0, 1, ..., M — I, Mx = T.
Суть проблемы в том, как решать систему (2), (3).
Жесткие краевые задачи возникают, например, в расчетах процессов прохождения излучения через слой большой оптической толщины. При этом разные компоненты вектора х относятся к частицам разной энергии. Матрица А содержит члены, описывающие как поглощение излучения, так и переход частиц из одной энергетической группы в другую («замедление»). В некоторых случаях может присутствовать и «рождение» частиц под воздействием их поглощения («цепные реакции», характерные для процессов в ядерных реакторах). Итак, величину |И||Г (примерно, совпадающую с LT) мы
считаем не слишком большой, а вот величину eLT считаем очень большой.
Характерной особенностью рассматриваемых задач является тот факт, что их решения суть ограниченные функции. Более аккуратно это можно сформулировать в виде требования
||*(OII«c(NI + IWI), (4)
где ||а|| — обычная норма правой части a(t), ||6|| — норма правой части в краевых условиях. Постоянная C=O(I). Здесь необходимы пояснения. Оценка (4), если не оговаривать требований к С, тривиальна: она выполняется всегда (за редким исключением задач, как говорят, «на спектре», т.е. когда нарушены условия единственности и существования решения при любых правых частях). Однако «универсальная» оценка (4) в общем случае имеет постоянную С & ехр (Ц-ДЦГ). Мы же рассматриваем класс задач, в котором С = 0(1)«ехр (||Л||Г). Такие жесткие краевые задачи играют осо-
244
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
бенно большую роль в приложениях (им присвоено специальное наименование «вычислительно корректные задачи»).
Приведем самые общие сведения из теории, позволяющей выделять эти задачи. Оказывается, что далеко не все формально возможные постановки задач для жесткой системы (1) приводят к вычислительно корректной задаче. Определяющую роль играет такой сравнительно простой и легко контролируемый фактор, как число краевых условий на левом и правом концах интервала [О, Г]. Это число должно находиться в определенном соотношении с числом точек в разных частях спектра. Точнее, необходимым условием вычислительной корректности краевой задачи являются следующие неравенства:
а) к > 1~, т.е. число краевых условий на левом конце интервала должно быть не меньше числа сильно убывающих вправо решений;
б) п — к> /+, т.е. число краевых условий на правом конце интервала должно быть не меньше числа сильно убывающих влево решений.
При нарушении этих условий краевая задача (1) оказывается вычислительно некорректной, т.е. в оценке (3) постоянная С имеет недопустимую с принятой здесь точки зрения величину 0(eLT). Докажем этот факт. (Доказательство технически простое; оно поучительно, так как вскрывает механизм вычислительной некорректности.) Построим конечное (0(1)) возмущение решения краевой задачи, приводящее к очень малому возмущению краевых условий. Будем истолковывать эту конструкцию «в обратном направлении» — как демонстрацию того, что очень малое возмущение краевых условий приводит к конечному возмущению решения.
Итак, пусть x(t) — решение краевой задачи (1), (2) и пусть
к < 1~. Рассмотрим множество всех сильно убывающих вправо решений однородной системы (1). Оно имеет структуру
где аг — произвольные постоянные. Таким образом, мы имеем I -мерное пространство. Поскольку число левых краевых условий к меньше размерности этого пространства, в нем можно найти элемент, удовлетворяющий однородным левым краевым условиям. Другими словами, существует нетривиальное решение системы к уравнений с Г неизвестными а,:
