Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
/
2 Vi Ф, etA7,
/=1
§ 18]
ЖЕСТКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
245
Пусть Ctj — решение ЭТОЙ системы И Il а|| = 1. Рассмотрим «возмущенное» решение
у(0 = *(0+2 а«фГ^л’-
Вектор-функция y(t), очевидно, удовлетворяет уравнению (1) и левым краевым условиям. Правые краевые условия, конечно, нарушаются. Ho так как возмущение при t = T очень мало (0(e~LT)), то такого же порядка будут и невязки в правых краевых условиях.
Приведенное несложное построение доказывает необходимость сформулированных требований к числу краевых условий для вычислительной корректности задачи. Более сложный анализ, который мы не воспроизводим, показывает, что эти условия являются и почти достаточными. Точнее, если по числу краевых условий задача «правильная», это еще не гарантия вычислительной устойчивости задачи. В принципе среди «правильных» краевых задач могут встретиться и вычислительно неустойчивые, но такие задачи — редкое исключение, требующее некоторых случайных совпадений. В общем случае задача является вычислительно устойчивой.
Выше описана ситуация, в которой требуется построить вычислительно устойчивый способ решения разностной краевой задачи (3) (краевые условия для (3) имеют в точности тот же вид, что и для (1)). Характер вычислительных проблем уже разъяснен в более простой ситуации (см. § 10). Напомним, что при попытке решить краевую задачу в виде комбинации решений подходящим образом подобранных задач Коши мы приходим к необходимости вычислять конечную величину, суммируя функции типа eLt, что, как известно, приводит к значительной потере точности из-за сокращения главных знаков. Кроме того, само численное интегрирование задач Коши в этих условиях сопровождается сильным накоплением вычислительных погрешностей: множитель еи в оценке погрешности численного решения неустраним.
Итак, проблема поставлена. Перейдем к ее решению. Заметим только, что в некоторых случаях мы будем описывать алгоритм прогонки в дифференциальной (а не в разностной) форме, т.е. будем сводить решение линейной краевой задачи (1) к последовательности нелинейных, но зато устойчивых задач Коши. Проблема же численного интегрирования этих задач решается самыми простыми средствами, так как выбор шага из соотношения ||^4||х-=зс 1 допустим. Конечно, задача предполагается вычислительно корректной. В противном случае едва ли имеет смысл искать вычислительно устойчивые методы ее решения.
Ортогональная прогонка. Методы численного решения жестких линейных краевых задач основаны на следующем соображении. Рассмотрим множество решений дифференциального уравнения
246
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
к = Ax + а, удовлетворяющих только левым краевым условиям. Обозначим это многообразие через R~(t). При каждом фиксированном значении t многообразие R~(t) является просто линейным (точнее, афинным) подпространством и-мерного фазового пространства. Его размерность, очевидно, есть и — к. Рассмотрим аналогичное подпространство, образованное всеми траекториями, удовлетворяющими правым краевым условиям. Обозначим его через R+ (t).
Получим «явное выражение», например, для R~(t). Теория линейных дифференциальных уравнений дает простой рецепт:
1. Находим частное решение неоднородной задачи (1), удовлет-врряющее неоднородным левым краевым условиям. Для этого находим любую точку Z0(O) Є Rn, удовлетворяющую системе к линейных уравнений (2), и с такими данными Коши проинтегрируем систему (1). Полученное решение обозначим через X0(().
2. Построим п — к линейно-независимых решений однородной системы X = Ах, удовлетворяющих однородным левым краевым условиям. Обозначим эти решения через Xі(t). Их можно получить решением соответствующих задач Коши. Данные Коши для этих решений строятся просто. Пусть в матрице, составленной из к «-мерных строк Ii (і = 1,2, ..., К), не вырождена матрица из первых к
столбцов. Тогда Х‘(0) {..., 0, ..., Ik+i, 0, ...}, т.е. все компоненты
с номерами к + 1, к + 2, ..., и равны нулю, кроме (к + г)-й, равной единице. Первые к компонент получаются решением системы к линейных уравнений (Ii, -X7(O)) =0 (і= 1, 2, ..., к).
Явное представление R~(t) имеет вид
/Г(0=*0(0+5>/*Ч0- (5)
(=1
Таким образом, гиперплоскость R~(t) задается точкой X0(t) и «репером» из векторов X1 (t), Cii — произвольные множители. В такой
же форме можно представить и R+ (t).
Очевидно, искомое решение краевой задачи есть пересечение этих многообразий:
x(t) = R~(t) D R+ (t).
(Именно так рекомендует решать краевые задачи общая теория, не имеющая в виду задачи с большим параметром.) При каждом фиксированном t это есть пересечение (и — к)-мерной и ^-мерной гиперплоскостей и-мерного пространства. Каждое многообразие R~(t), R+(і) состоит из траекторий уравнения х = Ax + а. Каждая отдель-
ЖЕСТКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
247
ная траектория включает в себя сильно растущие (как вправо, так и влево) компоненты типа еи, е~и, т.е. R~, R+ в представлении (5) образованы из «неустойчивых» элементов. Однако сами многообразия, если задача вычислительно корректна, оказываются устойчивыми. Если рассматривать, например, R~(t) как некоторую поверхность в (п + 1)-мерном пространстве [О, Т] х Rn, то при малой вариации правой части уравнения или значений bt, входящих в краевые условия, это многообразие подвергнется, соответственно, малой деформации. (Хотя составляющие его отдельные траектории при этом изменяются очень сильно, малое изменение начальной точки ATi(O) такой
