Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
(V, W) =2 (Xj-YK f (Xi)-f(Yj)) < J I \\Xj-Yj\\2=l IIFII2.
у-1 J = і
Перепишем (43) в виде
A-1V= xW + А~1а. (45)
Умножая (45) скалярно на F, получаем
(A~lV, V) = x(V,W) + (A~lа, V).
С учетом (44) имеем оценку
(A~iv, у) ^tziifii2-Hh-iII Iiaii imi.
Выше неявно использовалось предположение о невырожденности А. Примем теперь более жесткое предположение о том, что матрица А~1 определяет метрику в том смысле, что существуют положительные Cv C2, для которых справедливо
C1 IIFII2 Sg (A~lV, V) Sg C2 IlFIl2, VF. (46)
Перестановкой строк и столбцов матрицу А можно привести к блочно-диагональному виду, в котором матрица представляет собой N стоящих на диагонали блоков, каждый из которых есть матрица {ац} (размером 5 Xs). Очевидно, свойство (46) достаточно проверять только для такого блока, т.е. справедливость (46) зависит только от узлов и не зависит от размерности N решаемой системы. Используя (46), получаем оценку
C1IIFII2^T/ IIFII2+ C2IIaII ИF||.
Отсюда следует IIFIKC1 — xl) ^ С2||а|| и при xl < C1 имеем
IIFII ^ с^7 IIctH- (4?)
Теперь можно оценить x\\W\\ из (45):
т||Ж||«|И-Ч| IIFII+ IM-1II Ilall < C3IIaII.
И наконец, получаем окончательный результат:
IIvm-HiII ^ PU т \\W\\ + ||5|| = 0(||a|| + II5II).
Итак, при условии (46) схема является ^S-устойчивой в том смысле, что погрешность согласования есть величина 0(хР+1), где
§ 17]
ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
237
р — наиболее низкий порядок 5-аппроксимации (его называют стадийным порядком аппроксимации). Выше была использована и ограниченность ||5||, но это есть факт общего характера в отличие от требования (46), которое для одних схем выполняется, для других — нет.
Перейдем к следующему моменту 5-теории — к исследованию 5-устойчивости. Здесь тоже есть некоторая общая схема анализа.
Исследование 5-устойчивости. Оно состоит в оценке поведения величины \\хп — хп\\ для двух разных решений разностной схемы.
Выпишем уравнения для хп и хп (i = 1, 2, ..., s):
уІ = хп + * 2 an f(yJ)> Yi = *n + *2 aU f&),
і j (48)
*„+1 = xn +x2 vf(yJ), xn+i = xn + x2 auf(yi)-
j J
Вычитая их, получаем (і = I, 2, s)
Yi-Y' = (хп -Хп) + т2 аи U(YJ) - f(YJ)},
(49)
ХП+1 - *П+1 = (*„-*,.) + т 2 U(Yj) - f(YJ)}-
і
Используем определенные выше векторы V, W и матрицы А, В. Введем дп = хп — хп, а также матрицы E и В (типа N-+Ns и Ns-»Ns соответственно):
Ь1е
О
\
Ъге
E= {е, е, ..., е}т, B =
О bse
\ /
В этих терминах можно записать (49) в виде
а) V = Ebn + xAW, б) 6„+1 = 6„ + т5Ж.
Приступим к оценке. Из (506) имеем
Il6„+il|2 = Hdn + XBWW2 = (б„ + tBW, 6„ + xBW) =
= ||6„||2 + 2т (6n, BW) + т2 (BW, BW).
(50)
238 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
Проделаем простые и очевидные преобразования:
HSn+ill2 = IISrtII2 + 2т (В*bn, W) + т2 (BW, BW) =
= IlSJI2 + 2т (В*Ьп - BV + BV, Ж) + т2 (BW, BW) =
= IIM2 + 2х (Яу> W) - 2т (BV - B'bn, W) + т2 (BW, BW).
Для слагаемого (BV, Ж) = ^ B1 (Yi — Yi, /(У7) — f(YJ)), ограничи-
j
ваясь, для простоты, диссипативными системами (с неположительной односторонней константой Липшица I ^ 0) и принимая существенное, но весьма естественное предположение о положительности всех коэффициентов квадратурной формулы (Ы > 0, V у), получаем очевидную оценку
(BV, Ж) =SO. (51)
Если для схемы имеет место оценка
\\?~ Y‘\\ <C4||Sf„-*J|, i=l,2,.,.,s, (52)
с постоянной C4 = O(I) на всем рассматриваемом классе жестких систем, вместо (51) имеем оценку типа
(BV, W) sS C5 ИSn И2, C5 = O(I)1 (53)
которая тоже может быть использована для установления В-устой-чивости.
Из соотношения (50а), предполагая обратимость А, находим
W = \ A~'(V -Edn). (54)
Подставим это выражение в полученную для ||6ч+1||2 формулу: 1|6„+1Н2= IISJI2 + MBV, W)-2(BV-B'bn, A~l(V-Ebn)) +
+ (BA^(V-Ebn), BA^(V-Ebn)). (55)
Используя почти очевидное соотношение Bt = BE и преобразуя третий член правой части (обозначим z = V — Ebn) имеем
2(BV - В*Ьп, A~\V - Ebn)) = 2(BV - BEbn, A~l(V - Ebn)) =
= 2(Bz, A~‘z) = (BTA-iZ, z) + ((A~lYBz, z). Наконец, представим последний член правой части (55) в форме (BA-1Z, BA-lz) = ((A-lYBtBA-lZ, z).
ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
239
Используя эти преобразования, запишем окончательное выражение: l|Sn+ill2= IISnII2 + 2т (BV, W) - (Qz, z), (56)
где
Q = BtA-1 + (A-1YB - (A-lYBtBA-K (57)
Итак, если система диссипативна, коэффициенты квадратуры Ы > 0, матрица А имеет обратную матрицу А~1 и самосопряженная матрица Q неотрицательна, то разностная схема обладает свойством аттрактивности. Для любых двух решений хп и хп, полученных по этой схеме, имеет место соотношение
ll*n+i-*»+ill<ll*n-*J*
что сильнее требуемого свойства 5-устойчивости. Если, кроме того, имеет место соотношение (52), то можно получать 5-устойчивость на более широком классе систем — с положительной односторонней константой Липшица I = 0(1). В этом случае, очевидно, мы придем к соотношению
l|Sn+i-*n+ill«(l + Ст) P4 -xj|. (58)
Интерполяционная схема с гауссовыми узлами. Выше был указан общий способ построения полностью неявных разностных схем типа Рунге—Кутты. Отмечалось, что выбор узлов интерполяционной формулы является резервом, разумно распоряжаясь которым можно получить полезные свойства схемы. Подтвердим это положение, выбирая в качестве узлов так называемые гауссовы узлы.
