Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
поглощаются.
Однако нам кажется, что эти изменения можно объяснить очень просто, не
прибегая к новым гипотезам. По-нашему мнению, дело заключается здесь не в
периодических изменениях в движении Луны, но в колебаниях вращательного
движения Земли, задающего нам масштаб времени.
Именно, прилив, создаваемый Луной, увеличивает момент инерции Земли
относительно земной оси на величину, которая зависит от угла, образуе-
* Bemerkungen йЬег periodische Schwankungen der Mondlange, welche bisher
nach der Newtonschen Mechanik nicht erkldrbar schienen. Sitzungsber.
preuss. Akad. Wiss., 1919, 433-436.
1 G. F. Bottlinger, Die Gravitationstheorie und die Bewegung des Mondes.
Freiburg i. Br., 1912. G. Troemers Universitatsbuchhandlung.
2 Seeliger. Uber die Anwendung der Naturgesetze auf das Universum. Ber.
Bayer. Akademie, 1909, 9. Эту работу следовало бы цитировать в моей
статье "Вопросы космологии и общая теория относительности" (Sitzungsber.
preuss. Akad. Wiss., 1, 1917, 142) (статья 44); то, что изложено там в §
1, составляет идею Зеелигера, работа которого тогда, к сожалению, была
мне неизвестна.
"72
54
О периодических изменениях длины лунного месяца
мого линией Земля - Луна с экваториальной плоскостью Земли. В
соответствии с этим момент инерции Земли, а вместе с ним и скорость
вращения проходят ежемесячно через два максимума и два минимума. Если бы
наклон плоскости орбиты Луны к экватору Земли был постоянным, то
усредненная за месяц скорость вращения Земли также была бы постоянной.
Однако этот угол периодически меняется вследствие прецессионного движения
лунной орбиты (относительно плоскости эклиптики), обусловленного
притяжением Солнца, причем период составляет около 18,9 лет (время одного
обращения лунного узла). Поэтому средняя скорость вращения Земли
периодически изменяется. Следовательно, предполагая, как это делается в
астрономии, что вращение Земли является в точности равномерным, мы
получаем кажущееся периодическое изменение длины лунного месяца с
периодом 18,9 лет.
Теперь вычислим приближенно этот эффект, только что объясненный
качественно. Будем рассматривать приливную волну как деформацию водной
оболочки Земли, описываемую эллипсоидом вращения с большой осью,
проходящей через Луну. Тогда для момента инерции Земли относительно ее
оси вращения получим простым вычислением следующее выражение
J = Л С + | - -щ- sin'4>)- С)
Здесь /0 - момент инерции в отсутствие приливного действия, h - разница
уровней между приливом и отливом, R{) - радиус Земли, р - плотность Земли
(предполагаемая постоянной), ф - угол между линией Земля - Луна и
плоскостью экватора. Поскольку мы интересуемся только зависимостью от
угла ф, эту формулу можно заменить на следующую:
J = Jo(l Sin2tp). (2)
Обозначая скорость вращения Земли через со, а ту же скорость ррц Ф = 0
через со0 и используя закон сохранения момента импульса, запишем
= "о I1 + sin2 Ф)- (3)
Для среднего за месяц значения скорости вращения получим
со = (D0 (1 + -щ- sin2 г), (4)
где i означает наклон лунной орбиты к земному экватору. В сферическом
треугольнике, образованном полюсом эклиптики, северным полюсом и полюсом
лунной орбиты, стороны равны: углу i между лунной
43 а. Эйнштейн, том I 673
О периодических изменениях длины лунного месяца
1919 г.
орбитой и экватором Земли, наклону |3 лунной орбиты к
эклиптике
(около 5°), наклону а экватора к эклиптике (около 20°).
В этом треугольнике угол, противолежащий стороне г, равен уменьшенной на
180° долготе I восходящего узла лунной орбиты.Поэтому с достаточной
точностью можно положить
i - a -f Р cos I, (5)
причем а и Р следует считать постоянными, тогда как I возрастает про-
порционально времени. Отсюда с достаточной точностью получается sin2 i =
sin2a + [3 sin 2a cos I.
При несколько измененном значении (о0 отсюда получим
со - соп = sin 2a cos I. (6)
Интегрируя это выражение по времени, находим угол опережения Земли Д по
сравнению с положением, которое она занимала бы при равномерном вращении.
Этот угол, взятый с обратным знаком, выражает кажущееся опережение Луны.
Итак, получаем
(-А) = -п дз -уг~~ Р sin 2a sin / , (7)
Р о 1 е
где Тт - период обращения лунного узла, Те - период обращения Земли.
Полагая h ~ 1,5 м, что, конечно, сопряжено со значительным произволом,
получаем для амплитуды значение 1", т. е. правильный порядок величины. Мы
должны еще сравнить с опытом фазу эффекта. Для долготы лунного узла,
отнесенной к 1900 г., имеем достаточно точную формулу
/ = 259° - 19,35° t.
Отсюда и из формулы (7) получаются годы, на которые должны приходиться
максимумы и минимумы опережения. Сравним их с результатами наблюдений
Боттлингера, которые приведены в следующей таблице:
Таблица
Максимумы Минимумы
по формуле (7) наблюдения по формуле (7) наблюдения
1843 1843 1834 1830
1862 1861 1853 1852
1880 1880 1895 1892
671
54
О периодических изменениях длины лунного месяца
Ввиду малости рассматриваемых отклонений это согласие следует признать
