Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Точно так же, как мы делаем заключение о физической размерности некоторой новой величины, входящей в физическое уравнение, можно определять н контравариантную или ковариантную размерность данного уравнения, характер которого до сих пор не был известен. Например, еслн имеется уравнение
Л (J^)Bw = Cu,, (24.1)
в котором вначале ничего не известно о свойствах выражения A(jav), то все же можно сказать, что величина A(jav) должна быть тензором вида для того чтобы нмело место
A4B = C ,
так как в этом случае обе стороны имеют оди наковую ковариант нуго размерность.
Уравнение (24.1) символически может быть переписало в следующем виде
= CJBn,
24. Закон частного 35
откуда следует, что не только произведение, но и (символическое) частное двух тензоров есть тензор. Само собой разумеется, последнее действие не является обычным делением.
Этот закон частного чрезвычайно полезен при обнаружении тензорного характера выражений. Очевидно, что приведенные здесь общие соображения не могут претендовать на математическую строгость. В большинстве случаев требуемое доказательство может быть выполнено при помощи однократного или многократного применения следующей теоремы:
Величина, которая при внутреннем умножении на какой-нибудь ковариантный (или контравариантный) вектор дает тензор, сама является тензором.
В самом деле, предположим, что выражение
A (Jiv)F*
всегда будет ковариантным вектором при любом выборе контра-вариантного вектора В\
Тогда на основании (23.12) имеем
дх
М'(И1Г} = ^{4(«Р)В?}. (24.2)
V-
Ho, применяя (23.11) к обратному преобразованию от координат со штрихом к координатам без штриха, получим
дх
В? = —%-В'\ dx
V
Отсюда, подставляя найденное значение для В® в (24.2), найдем
дх дха
В'
АдГ ИГА<#>
[). V
= 0.
В виду произвольности величины Bn выражение, заключенное в скобки, должно равняться нулю. Это показывает, что величина 4 (^v) есть ковариантный тензор, подчиняющийся закону преобразования (23.22).
Мы будем в дальнейшем ссылаться на эту теорему, называя ее «строгой теоремой частного».
Интересно на примере подтвердить сделанное выше замечание, что выполнение уравнения (24.1) еще не обусловливает тензорного
96
Тензорное исчисление
характера А (pv). Пусть F(jtv) есть какое-либо выражение, антисим* метричное в (і и V, a Giiv— симметричный тензор, так что F(^) = -F(Vli), G1i4 = Gvii.
Тогда, переставляя немые значки, получаем
F([xv) Gliv = — F(vii) Gvii = — F(uv) Giiv,
так что
F(Jxv)Giiv = О
и произведение F(P)Gliv будет инвариантно. Отсюда, однако, конечно, еще не следует, что -F(Iiv) есть ковариантный тензор, так как выведенное сейчас свойство нмеет место для каждою антисимметричного выражения.
Хотя поэтому случаи, в которых прямое сравнение ко- и кон-травариантных размерностей не ведет к цели, и более часты, чем кажется вначале, мы будем все же часто пользоваться этим методом в наших исследованиях. В процессе чтения книги читатель должен выработать известную привычку отыскивать тензоры таким способом. Подтверждение открытия более строгим путем никогда не представит особых затруднений. На искусственно подобранных примерах легко показать непригодность рассматриваемого правила; однако, мне неизвестно ни одного реального случая, когда бы оно не имело места.
25. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ.
Контравариантный характер величины dx= dxv в уравнении
(22.1) удобно выразить, написав последнее в таком виде:
= (Jw, (dx)^(dx) '•
Так как ds2 не зависит от системы координат, то эта величина есть инвариант или тензор нулевого ранга. Наше уравнение показывает, что при умножении g (dx)*1 на произвольно выбранный контравариантный вектор (dx)' всегда получается тензор нулевого раига. Кроме того, так как величина g , умноженная
на произвольный контравариантный вектор {dx)’1, всегда дает вектор, то отсюда следует, что g есть тензор.
Это двукратное применение строгой теоремы частного дает возможность заключить, что выражение g представляет собой
25. Фундаментальные тензоры
97
тензор, причем этот тензор является ковариантный, как это и было предусмотрено заранее его написанием *).
Обозначим через д определитель:
лителе, деленный на д '*).
Рассмотрим внутреннее произведение дд'">. Ясно, что а и v соответствуют двум различным строкам в определителе. Здесь необходимо выполнить следующие действия: умножить по очереди каждый элемент ряда на минор соответствующего элемента ряда V, полученные выражения сложить н сумму разделить на д. Эта операция эквивалентна замене ряда и. на ряд v н делению получившегося прн этом определителя на д. Если то мы
получим определитель с двумя одинаковыми рядами, который, как известно, должен равняться нулю. Если же [J. = v, то, совершая указанные действия, получим, что определитель д нужно разделить на самого себя, т. е. в этом случае результат равен единице.
Таким образом выражение имеет такое же свойство, как и описываемое формулой (22.4) свойство оператора подстановки. Например
