Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
д (J> У. "¦) д(г, 6, vj) _ д(х, у, 5)
д (г, Є, ч>) д (X, j'., v) д (/., p., v)'
Совокупности чисел, преобразуемые при помощи этого добавочного
умножения, представляют вырожденные случаи тензоров высших рангов,
рассматриваемых ниже.
6*
Si
Тензорное исчисление
потому, что никогда не может согласиться с мыслью, что какая-то частная система координат заслуживает такого специального отличия.
Теперь мы видим, что вектор с математической точки зрения есть общее название для бесконечного числа совокупностей величин, причем каждая совокупность сопоставляется с одной из бесконечного числа координатных систем. Произвольность этого сопоставления исключается постулатом, что имеется некоторое правило, которому мы следуем, и что ни одна система координат не получает никакого специального отличия. Говоря математическим языком, преобразования должны составлять группу. Величина (й, 0, Ф) ни в каком отношении не является той же самой величиной, как и (X, У, Z)\ они имеют общее название и некоторую аналитическую связь, но всякое представление, подобное тождественности, совершенно исключено из математического понятия о векторе.
21. ФИЗИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.
Компоненты силы (X, Г, Z), (X', I', Z') и т. д. в различных системах декартовых координат, прямоугольных или косоугольных, образуют контравариантный вектор. Это ясно из того, что в элементарной механике сила разлагается на компоненты но правилу параллелограмма сил таким же способом, как и перемещение dx^, а мы видели, что dxесть контравариантный вектор. Поскольку рассматривается лить математическое понятие вектора, величины (X, Г, Z) и (X', Y', Z') не следует рассматривать как тождественные в каком-либо отношении, но при обсуждении вопроса с физической точкн зрения мы должны помнить, что обе величины выражают некоторого рода мировое условие или соотношение и что ЭТО соотношение должно быть одним и тем же, независимо от того, применяем ли мы для его описания величины (X, Ir, Z) или (X', У', Z'). Физический вектор представляет собой эту смутно понимаемую сущность явления, которая не зависит от системы координат и стоит за нашими измерениями силы.
Свойство мира не может быть непосредственно выражено в математическом уравнении; в последнее может входить только мера этого свойства. Всякое число или совокупность чисел, которые могут служить для однозначного определения такого
2L Физическое понятие вектора
85
свойства, могут быть названы его мерой. Применяя термин «свойство мира», мы стараемся как можно менее связать себя, включая в этот термин все то, что так или иначе определяет значення наблюдаемых физических величин во внешнем мире.
Простейшим будет тот случай, когда рассматриваемое свойство мира может быть задано одним единственным числом. Возьмем два таких свойства, представляющих соответственно длину волны X и период T световой волны. Имеем уравнение
X = S-IO10-Tt. (21.1)
Это уравнение справедливо только тогда, когда числам приписываются значения по определенному закону (в системе CGS). Ho оно может быть записано в более общей форме:
X = CTt1 (21.2)
где с — скорость, имеющая значение 3 • IO10 в системе CGS.
Это уравнение дает общий вид всех частных уравнений, подоб-
ных (21.1). Для каждого нового задания системы мер или системы единиц с имеет различное значение. Метод определения изменения с прп переходе к новой системе единиц хорошо известен. В согласии с ним с приписывается размерность: «длина/время», и простое правило дает нам возможность определить, как изменяется эта величина с при изменении единиц, в которых измеряются X и Т. Именно: для всякого уравнения общего характера полная размерность каждого члена должна быть одной и той же.
Тензорный анализ распространяет этот принцип размерностей на изменения системы мер более общего характера, чем простое изменение единиц. Существуют такие свойства мира, которые не могут быть определены при помощи единственной числовой меры; для некоторых необходимо 4, для других 16, 64 и т. д. чисел. Множество ЭТИХ чисел таково, что оно не может быть расположено в виде некоторого простого линейного ряда. Рассмотрим теперь уравнение между числовыми мерами двух мировых соотношений, для которых требуется по четыре таких числа. Уравнение, если ему придан необходимый общий вид, должно быть-справедливо для всякой возможной системы мер. Это будет иметь место в том случае, если при преобразовании системы мер обе части уравнения преобразуются одинаковым образом, т. е. если мы должны произвести один и тот же ряд математических операций над обеими сторонами уравнения.
86
Тензорное исчисление
Мы можем теперь применить математическое понятие вектора, данное в п. 20. Пусть наше уравнение в некоторой системе мер будет иметь вид
A1, A2, Aj, ^l4 = B1, B2, B3, Bv (21.3)
Изменим теперь эту систему так, чтобы левая сторона превратилась в какие-то четыре числа A1', A2', A3', Ai'. Это изменение мер мы отождествляем с преобразованием ковариантного вектора, связывая с изменением системы игр соответствующее преобразование координат от х к по формуле (19.2). Ho так как уравнение (21.3) должно удовлетворяться для всех систем мер, то преобразование правой части должно состоять из такой же совокупности операций, и переход от Bv В%, B3, Bi к B1', B2', B3', Bi' также будет представлять преобразование ковариантного Ъектора, связанное с тем же самым преобразованием координат от х^ к х
