Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
с№я„ (Ixi, dxK,
W + Ж = 0’ (Ш)
так что эти уравнения соответствуют также и вариационной проблеме (II)1 которая кажется более общей. В самом деле, при переходе от (II) к (IH) соЕсем не нужно пользоваться тем обстоятельством, что р придано какое-то частное значение.
Однако, оказывается, что уравнения (II) или эквивалентные им уравне. ния (III) определяют в основном параметр р, так что в общем случае возможен также и переход от (II) к (I). Действительно, если помножить (III)
dx р
на '2,9,0 то получим
d'2xa dxp /Ixfl dx., dx^
“? ~([p + 2 $}~dp ~dp~dp~Q>
'29. Ковариантная производная вектора
107
Теперь результат имеет уже общий характер, так как кривизна, которая характеризует геодезическую линию, была исключена применением уравнений (28.5), и в выражении оставлен только градиент кривой (dx Ids и dxjds) *).
Так как dx /ds и dxjds являются контравариантнымя векторами. то их дополнительный сомножитель есть коваринтный тензор второго ранга. Поэтому можно написать:
или, вставляя значения символов [[av,P] и переставляя соответственным образом немые значки:
3*'/2X*d*9 9^dxad%x?t dXv. dXa dx?
dpi dp dp dpi dx dp dp dp
dx„ dXa
0,
j і Jh_iA a dp dp j
(IV)
dp dp dp
Следовательно, уравнение (IV) представляет собой „первый интеграл*' уравнений (III), причем значение постоянной С определяется начальными
d.ra fig ___
значеннями ха и . Если Czfz 0, то отсюда следует, что — = У С, /> =
= —І—-|- C1, так что соответствующая траектория есть также решение (I),
Еслн же начальные значения находятся на ,нулевом конусе" Лга = 0, то соответствующая траектория хотя и представляет собой решение (II) и (III), HO не удовлетворяет условию (I). В дальнейшем геодезическими линиями будут называться все траектории, удовлетворяющие условию (III) [или, что то же самое—(II)]. Это будут, следовательно, все кривые, которые представляют собой решения уравнений (III) при соответственном выборе параметра р. Решения с обращающейся в нуль постоянной С в (IV J выделяются среди них тем, это они не являются решениями уравнения (I), HO могут быть получены из иих посредством предельного перехода. Такие траектории с C = O называют геодезическими пулевыми линиями. В случае положительно определенного Л2 нулевые линии мнимые, так что введение геодезических линий, на основании (I), вполне целесообразно. В общем же случае следует предпочесть определение, примыкающее к (II), хотя интеграл (II) и не имеет наглядного геометрического значения интеграла (I). {II.)
*) Обратим внимание на то, что согласно определению геодезической линии, в любой точке в любом направлении можно провести геодезическую
dx
линию, так ЧТО —есть произвольный вектор. 41.)
ds
/OS Тензорное исчисление
дА
= {^’ “} А* (29,3)
dx
Заметим, что выражение есть контравариантный вектор
1
и, таким образом, симметричная часть А .,-{-Л, ) выражения
<як ^
A114, на основании высказанных в п. 25 относительно g соображений, является ковариантным тензором.
С другой стороны, легко непосредственно показать, что анти-
1
симметричная часть (At—Л ) выражения А также предста-
<як J ^
вляет собою ковариантиый тензор. В самом деле, из (29.3) следует:
дА дА
A —A =Vi---' . (29.31)
и--' ^ дх дх v '
¦/ а
Если отметить теперь подобные же выражения в новых координатах х штрихами, то будем иметь:
дА дА' д I ^ джД д ( л dxt
dx' дх дх'\”дх) дх' \адх'
V {A V \ [l/ \ 1
дА„ дх., дА„ дх„ дЛ„ дхя <Ь дА„ дха дх„
дх дх' дх' дх' дхп дх' дх дЛ0 дх' дх' ’
•і а V , ''M- Э H- '<
откуда, меняя во втором члене местами значки а и ?}, по которым производится суммирование, получим
^y- _ ^. дх$
дх' дх \ дх, дх J дх' дх''
•/ а \ і а/ а v
(29.32)
Ho это выражение согласно (23.22) указывает на то, что (29.31) есть ковариантный тензор. То же самое справедливо и для A^. Тензор А называется ковариантной производной от А .
(IV
При поднимании значка получим два сопряженных тензора A^, и AV, которые необходимо отличать друг от друга, так как несимметрично относительно обоих значков. Из них наибо-
ЗО. Ковариантная производная тензора 109
лее важным является первый, поэтому условимся обозначать ег" просто через Так как
А =д А\ то на основании (29.3) имеем
К, = -J- І9* As) — {av, а} А%
V
и далее, применяя (27,4):
л,+ A-dJ^-MA';
окончательно, принимая во внимание (27.5), получим
дА\х Л А'
А.; — 9aSfaT + [svJ 3I А •
Отсюда, умножая все выражение на д^а и помня, что выражение д^д есть подстановочный оператор, будем иметь:
Это выражение называется ковариантпной производной от Af-. Необходимо твердо запомнить существенное различие между формулами (29.3) и (29.4).
Тензоры А’ и Af*, получаемые из (29.3) и (29.4) при поднимании второго значка, называются контравариантными производными от A^ и A^. Контравариантными производными нам придется, однако, пользоваться весьма редко.
30. КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ТЕНЗОРА.
Ковариантные производные тензоров второго ранга образуются по следующим правилам:
