Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Всякая совокупность четырех величин, преобразуемых по этому Закону, называется контравариантным вектором.
Таким образом, если четверка (Л1, A2, A3y А1) переходит в новой системе координат в (A'l, А'2, А'3, А'4), причем
жЦ дх'
(19л)
O=I
то совокупность (А1, А2, А3, Ai), сокращенно обозначаемая через представляет собой контравариантный вектор. Верхние значки у букв справа (которые, конечно, не являются показателями степени) мы сохраним для обозначения контравариантных векторов.
19. Контравариантные и ковариантные векторы
7.9
Если 9 есть инвариантная функция точки, т. е. если она имеет в каждой точке определенное значение, не зависящее от выбранной системы координат, то четыре величины
д<о д<.р до д<о дхг ’ дх2 ’ Ox3 ’ Sxl преобразуются согласно уравнениям
ду Oxl д'о ^ Ox2 до ^ Ox9 d-о ^ Sxi д'л ^
Oxl дх1 дхх дхх дх2 дхх Ox3 дх1 dxt
что можно переписать короче так:
д<э \ 1 дха д?
дх / і дх дх
Ii AmmaA м #
Ct-I
Всякая совокупность четырех величин, преобразуемых но этом} закону, называется ковариантным вектором.
Поэтому, если есть коварна нтный вектор, то закон его преобразования можно представить в следующем виде:
4
(19.2)
Таким образом, мы имеем два различных типа векторов, отличаемых друг от друга при помощи значка внизу или наверху. Первый же приведенный пример коитравариантного вектора dx представляет собой исключение нз указанного нами правила, согласно которому значок внизу указывает на ковариантность, а значок наверху — на контравариаитность. Подобных исключений, могущих ввести чиїателя в заблуждение, больше нет, поэтому запомнить эту особенность dx будет нетрудно; но иногда все же будет удобно явно указывать на контравариаитность этой величины и писать
dx^={dxf. (19.3)
Вектор может определяться или какой-нибудь совокупностью четырех величин, связанных с некоторой точкой в пространстве-времени, или же совокупностью четырех функций, непрерывно меняющихся от точки к точке. Соответственно этому различают «изолированный вектор» и «векторное поле».
Для иллюстрации понятия ковариантного вектора мы взяли
А = и-
OXr
дх
-А,
so
Тензорное исчисление
градиент инварианта > однако ковариантный вектор не является
н-
обязательно градиентом инварианта.
Читатель вероятно уже знаком с понятием вектора, но едва ли ему знакомо различие между ковариантными и контравариант-яыми векторами. Эт0 происходит оттого, что в элементарном анализе рассматривается только прямоугольная система координат; а для преобразования одной прямоугольной системы координат в другую правила (19.1) и (19.2) эквивалентны друг другу.
С геометрической точки зрения каждый знаком именно с контравариантным вектором. Действительно, простейший вектор перемещения или расстояния между двумя точками (с учетом направления) определяется при помощи совокупности величин {dxx, cte2) dxs) *), которая, как мы видели, является контравариантным вектором. Ковариантный вектор является новым понятием, которое нельзя интерпретировать столь наглядно геометрически.
20. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА.
Формальные определения предыдущего параграфа едва ли значительно облегчают понимание того, что представляет собой в действительности вектор. Попытаемся рассмотреть этот вопрос более полно, разобрав сперва математическое понятие вектора (которое для нас особенно важно), а затем, как более трудное, н физическое понятие вектора.
Предположим, что нам дана совокупность четырех чисел (A1, ^42, А&, ^L4), связанных с некоторой точкой и с определенной системой координат. Изменим систему координат и постараемся определить, как изменились эти числа в новой системе координат. Очевидно, что такой вопрос не имеет смысла, так как числа не могут как-нибудь «измениться» сами собой. Взятая нами совокупность чисел останется прежней, если только мы сами не заменим ее другой. Ho математик может подойти к вопросу несколько иначе, говоря: «когда я пользуюсь координатами X1, х2, х8, Xi, то мне удобно говорить о числах Ah A2, A3, Ai, а когда я пользуюсь координатами , х^, х3', . то на некоторой стадии моего иссле-
дования оказывается, что мне теперь уже удобнее говорить о четы-
*) Согласно обычному разложению вектора перемещения на компоненты по косоугольным направлениям
20. Математическое понятие вектора Si
рех новых числах A1 , A2', A3, Ai'. Поэтому, для краткости, я предлагаю обозначить обе совокупности чисел одним тем же символом А». «Ho—возразим мы ему — это будет совершенно правильно только в том случае, если вы скажете нам точно, какие числа вы будете обозначать символом А в каждой нз тех систем координат, которыми вы будете пользоваться. Если же это не будет выполнено, то мы не будем знать, о чем вы говорите».
Предположим, что математик удовлетворил наше требование и представил список чисел, которые будут соответствовать символу А в указанных системах координат. Обозначим эти числа буквами. Итак, пусть символу А будут соответствовать *)
X, Y, Z в некоторой прямоугольной системе координат,
