Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
247
разуется в устойчивое же периодическое движение. Отметим, что при этом область притяжения устойчивого состояния равновесия непрерывно переходит в область притяжения устойчивого периодического движения. Сказанное поясняется рис. 7.8.
Исследование бифуркаций периодических движений несколько сложнее, чем состояний равновесия, и получаемые при этом результаты многообразнее. Прежде всего заметим, что изучение части из них может быть сведено к исследованию бифуркаций неподвижных точек преобразования.
Это те бифуркации, при которых точечное отображение Т секущей S продолжает существовать в некоторой фиксированной окрестности неподвижной точки
О, несмотря на бифуркацию периодического движения
(рис. 7.10).
Бифуркации неподвижных Рис. 7.10
точек преобразования во многом аналогичны уже описанным бифуркациям состояний равновесия. Пусть точечное отображение Т записано в виде
X = f(x,\i) (7.27)
и пусть х* (|jl) — его неподвижная точка. Тогда область существования этой неподвижной точки имеет своей границей поверхность, на которой обращается в нуль якобиан уравнения неподвижной точки
X(Z,^)|z=1 = Det||-|i-6i;.||. (7.28)
Здесь Д, /2, . . /„ — компоненты / (х, ц), а хи х2, . . .
. . ., хп — компоненты вектора х. Тип неподвижной точки определяется числами р и q корней характеристического уравнения
X (*. (*) = о,
лежащих внутри и вне единичного круга ] z ] ^ 1. Отсюда следует, что изменение типа неподвижной точки х* (р,) в результате непрерывного изменения параметров ц может произойти только при появлении корня z на границе
248
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
единичного круга, т. е. при выполнении одного на условии
X И < И = 0 (0 < ф < л), _ 9
X (1, М-) = 0, % (—'!.
Второе из этих условий совпадает с ранее написанным условием обращения в пуль якобиана. Два других условия новые. Первое из них соответствует появлению пары комп-лексно-сопряжепных корней вида а второе — одно-
го действительного корня z — —1. Поэтому граница области существования неподвижной точки Оч данного типа состоит из границы N+1 существования неподвижной точки и границ #ф и N-lt на которых меняется тип неподвижной точки за счет перехода через границу единичного круга двух комплексно-сопряженных корней или одного действительного отрицательного корня.
Бифуркации неподвижной точки Ор<q при непрерывном изменении параметра, ведущего к проходу через поверхность N+1, совершенно такие же, как и для состояний равновесия. Именно при пересечении поверхности iV+i происходит слияние неподвижной точки Ор’q с неподвижной точкой одного из типов <9Р-1’9+1 или Ор+1’9-1 с последующим их исчезновением. Однако вместе с этим исчезновением обеих неподвижных точек возможно появление простого или стохастического синхронизма (см. § 5). Обсуждение такой возможности выходит за' рамки этого параграфа и будет проведено в дальнейшем в § 5. При пересечении границы iV_x возникает бифуркация, при которой происходит смена типа неподвижной точки и одновременно из нее рождается или в ней исчезает цикл двухкратных неподвижных точек. Условно эту бифуркацию можно изобразить в виде
Ор’ '1 -v Ор+1- «-I -f- (Ofq, 0\?’ q),
Op• <г -v О?-1-q+1 -f (Ofq, Of q)
(7.30)
в случае рождения цикла двукратных неподвижных точек (Ofq, Ofq) и в виде
Ор' ч + (Of+1, q~\ ОТ1' <i~1) -v Op®-i,
Op' 4 -4 (ОГ1, <J+\ ОГ1’q+1) OP-1’ 9+1 (7‘31^
при слиянии с циклом двукратных неподвижных точек. Под циклом двукратных неподвижных точек (Ofq, Ofq) имеется в виду следующее. При преобразовании Т точка
РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
249
0\'9 переходит в точку 0%'q, а точка Оq — в точку Ор’q-Поэтому каждая из этих точек является неподвижной точкой отображения 712, причем неподвижной точкой типа (р, q), т. е. имеющей jD-мерное многообразие Sp стремящихся к ней точек при неограниченном повторении преобразования Т2 и g-мерное многообразие Sq точек, стремящихся к ней при повторениях обратного отображения Т~2. При преобразованиях Т точки цикла и их инвариантные многообразия переходят друг в друга.
Особый интерес эта бифуркация представляет в случае, когда она происходит с устойчивой неподвижной точкой Оп’ °. В этом случае она имеет один из видов
Ом., 0"-ы + (01'\ О"’0),
о», о (оп~1' \ от1,') -*¦ оп~^'1. ^7'32^
При первой бифуркации устойчивая неподвижная точка вместе со своей областью притяжения непрерывно переходит в устойчивый цикл двукратных неподвижных точек и его область притяжения. Во втором — устойчивая неподвижная точка сливается с седловым циклом двукратных неподвижных точек и становится седловой.
Если отображение Т — это отображение, порождаемое фазовыми траекториями, близкими к периодическому движению Г на секущей поверхности S, то первой из описанных бифуркаций устойчивой неподвижной точки соответствует мягкий режим удвоения периода колебаний. Поясняющие этот процесс фазовые картинки в трехмерном случае представлены на рис. 7.11. Как меняются при этом осциллограммы колебаний, изображено на рис. 7.12. При этом Г3’1 изображает родившееся движение удвоенного периода по отношению к периоду прежнего периодического движения Г3’1. Периодическое движение Г3’1 переходит в Г2>2. На секущей поверхности S неподвижная точка 0й'п переходит в ОЬ 1 и при этом одновременно рождается цикл двукратных неподвижных точек (0j”°, 02"). На секущей поверхности S стрелками изображается отображение Т2. Для отображения Т2 точки Ol'° и 0\'п — неподвижные точки.
