Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
S-=US-(i). (7.7)
i“0
Поверхности Sр и Sq могут быть простого вида, но могут быть и очень сложного. Как будет видно из дальнейшего, они играют важную роль в структуре разбиения фазового пространства на траектории. Особую роль при этом играют поверхности Sn-i и ?„_! размерности п — 1 на единицу меньшей размерности фазового пространства. Эти поверхности разделяют фазовые траектории на потоки траекторий с разным поведением. В этом смысле они подобны сепаратрисным кривым седел на фазовой плоскости. Поэтому им может быть присвоено наименование сепаратрисных поверхностей.
Перейдем теперь к рассмотрению более широких окрестностей — малых окрестностей отдельных фазовых траекторий. При этом особый интерес представляют окрестности замкнутых фазовых траекторий. С них и начнем.
Пусть Г — замкнутая фазовая траектория и б — ее малая окрестность. Пересечем фазовую кривую Г в некоторой ее точке О секущей гиперплоскостью S. Пусть М — любая точка этой секущей гиперплоскости, достаточно близкая к точке О. Выходящая из нее фазовая траектория V близка к Г и поэтому пересечет S в некоторой точке М. Тем самым каждой точке М в достаточно малой окрестности точки О на поверхности вставится во взаимно однозначное соответствие точка М этой же поверхности. Это соответствие можно рассматривать как некоторое точечное отображение Т поверхности S в себя. Точка О является неподвижной точкой отображения Т.
Вид точечного отображения Т в окрестности точки О полностью определяет поведение фазовых траекторий в окрестности замкнутой кривой Г. Тем самым задача рассмотрения окрестности замкнутой кривой сведена к рассмотрению окрестности точки с той лишь разницей, что раньше фазовые траектории в этой окрестности описывались дифференциальными уравнениями, а теперь — точечным отображением Т. Это различие не очень существенно. Во всяком случае, трудности, связанные с этим различием, значительно меньше, чем трудности непосредственного исследования фазовых траекторий в окрестное-
РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
239
ти не точки, а целой кривой. На этом и основывается эффективность метода точечных отображений.
Возможные виды точечного отображения в окрестности неподвижной точки такие же, как и для особых точек дифференциального уравнения, и все сказанное выше о них применимо и к неподвижным точкам. Дальнейшее рассмотрение этого точечного отображения Т проведем независимо от его происхождения. Введем координаты хх, х2, ...
. . ., и запишем точечное отображение Т в виде
х = f (х). (7.8)
Для неподвижной точки х* имеет место уравнение
х* — f (х*). (7.9)
Характеристическое уравнение неподвижной точки записывается в виде
S/i
7 (z) = Det
дх. 8iiZ
= 0. (7.10)
Если это уравнение имеет р корней внутри единичного круга и q вне него, то неподвижная точка типа Ор’9 (р + q ~ = п — 1). О”-1,0 —это устойчивая неподвижная точка, область притяжения которой может быть записана в виде
SZ-i=\J Т~*8. (7.11)
i=0
Здесь Т~18 означает i раз повторенное применение обратного преобразования Т~х к точкам достаточно малой окрестности б неподвижной точки
Точки Оп~2Л, . . ., 01,п~2 — седловые неподвижные точки. Точка о0,71-1 — неустойчивая неподвижная точка. Поведение фазовых точек в их окрестностях совершенно такое же, как и в соответствующих случаях особых точек дифференциальных уравнений. Полная аналогия качественных видов малых окрестностей простых особых точек дифференциальных уравнений и простых неподвижных точек точечного отображения может быть объяснена возможностью аппроксимации в этой окрестности точечного отображения Т отображением сдвига Тх некоторого дифференциального уравнения [41]. При этой аппроксимации в линейном приближении точечные отображения Т и Тх в окрестности их общей неподвижной точки совпа-
240
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
дают и между корнями п zt характеристических уравнений особой и неподвижной точек при соответствующей их нумерации имеют место соотношения
zt = (i = 1, 2, . . п - 1), (7.12)
из которых следует, что числа корней Аг, лежащих слева п справа от мнимой оси, совпадают с числами корней zit лежащих внутри и вне единичного круга.
Характер неподвижной точки отображения Т секущей S определяет поведение фазовых траекторий в окрестности
периодического движения Г. Именно, точке о11-1,0 соответствует устойчивое периодическое движение
Г П. 1 /^0, п—1
, точке О — неустойчивое периодическое
Г1, п
, точке О (р, дфО)—седловое Гр+1,9+1. Через седловое периоди*-
тлТ)+1. (7+1
ческое движение 1 ,
соответствующее неподвижной точке Ор'q, проходят две составленные из фазовых траекторий шь верхности 5р+1 и 5,+1. Пересечение этих поверхностей &р+1 и Sq+1 с секущей S дает инвариантные поверхности Sp и Sq неподвижной точки Op,q. Сказанное пояснено на рис. 7.6, где изображено периодическое движение Г2,2 с проходящими через него поверхностями S2 и Sz. На этом же рисунке показаны секущая S, неподвижная точка О1’1 и проходящие через нее кривые Sx и Si-
