Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
256 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. 7
рассматриваемого типа, а именно
Оп’0 + О"-*'» + St П Si Г»-». (7.35)
В этой схеме St П представляет собою двоякоасимптотические фазовые кривые, идущие из точки Оп-1>1в
точку Оп’°. Отметим, что при возникновении устойчивого периодического движения’Г'1’1 согласно схеме (7.35),
слева направо в область его притяжения переходит многообразие фазовых траекторий St состояния равновесия On’q.
Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в^некото-ром смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных’слу-
ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
257
чаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в которых только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для консервативных гамильтоновых систем, где понятие общности совсем другое. Консервативные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю.
Заметим, что основное содержание методов малого параметра [34] и асимптотических методов [20] может трактоваться как исследование специфических бифуркаций и возмущений. Так, теория периодических движений Пуанкаре решает вопрос о рождении периодических движений от семейств периодических движений, теория систем с быстровращающимися фазами — вопрос о рождении интегральных тороидальных многообразий от многопараметрических семейств тороидальных многообразий, теория дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных исследует сингулярные возмущения решений дифференциальных уравнений и т. д.
Заметим еще, что выше были рассмотрены основные бифуркации состояний равновесия и периодических движений достаточно гладких систем дифференциальных уравнений. На практике довольно часто приходится сталкиваться с дифференциальными уравнениями лишь кусочногладкими. Появление поверхностей разрыва правых частей дифференциальных уравнений влечет возможность появления гак называемых скользящих движений и других особенностей, требующих дополнительного изучения [41].
§ 2. Динамические система с простейшими
установившимися движениями
Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устой-
9 Н. В. Бутенин и др.
258
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
1ГЛ. 7
чивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами «почти целиком» имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка «почти» не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их значение для исследования динамических систем описанного класса.
Поясним сказанное простыми примерами. В простейшем случае имеется одно установившееся движение, устойчивое состояние равновесия или периодическое движение, а все остальные движения к нему приближаются. Тогда говорят о глобальной устойчивости этого установившегося движения.
