Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
при дальнейшем изменении параметров исчезает. Сказанное поясняет рис. 7.7, на котором представлены последовательные стадии изменения состояний равновесия в двумерном и трехмерном случаях при непрерывном изменении параметра [х, приводящем к пересечению поверхности N
244
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
Во втором случае при проходе через поверхность Na состояние равновесия сохраняется. При этом, если оно ранее было типа Op-q, то после прохода точкой [X через поверхность Na становится либо типа Op~i’q+2, либо типа Qp+2,q-2' Одновременное этим изменением типа состояния равновесия от него рождается или с ним сливается периодическое движение. Как это происходит, показано на рис. 7.8 и 7.9. На рис. 7.8 состояние равновесия Огл переходит в О!’2 и одновременно рождается периодическое
движение Г3,1. На рис. 7.9 представлена другая возможность, когда такое же состояние равновесия Оъл переходит в 0и при этом с ним сливается периодическое движение Г2’13.
Выше были описаны основные типы бифуркаций состояний равновесия. Их можно символически записать: ОР’Ч 4- 0Р+1.9-1 0,
0Р,? ОР-1-9+1 0; (7Л9)
QP,<1 Ql-i.q+2 рр,<Л-1
qp-ч гр-1.<г+з ор-2,7+2; (7.20)
Первые две записи означают слияние с последующим исчезновением состояния равновесия Ор<q с Ор+1<9-1 или 0р-1,9+i соответственно. Последующие четыре записи описывают все возможные варианты изменения особой точки Op'q, сопровождающиеся одновременным рождением или исчезновением периодического движения.
Каждая из этих бифуркаций определяется некоторыми аналитическими условиями. Для их записи примем, что бифуркация происходит при возрастании скалярного параметра ц в момент обращения его в нуль. Бифуркации (7.19) характеризуются тем, что при ц = 0 характеристическое уравнение (7.14) имеет нулевой корень X — 0; q —
— 1 корней с положительной и р корней с отрицательной действительными частями в первом случае и соответственно q и р — 1 корней — во втором случае. s
Бифуркации (7.20) и (7.21) разделяются в зависимости от знака величины
Op’q -v 0Р+2.9-2 рр+1,5,
Op’q -J- ГР+2,?-1 0Р+2, д-2_
(7.21)
(7.22)
РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
245
где звездочка означает комплексно-сопряженное число и производные вычисляются при jj, = 0 и к — iсо. При а > 0 имеют место бифуркации с возрастанием числа р у состояния равновесия и при а 0 с его убыванием.
Рис. 7.9
Напомним, что при этой бифуркации при (г — 0 ха рактеристическое уравнение имеет два чисто мнимых корня +гсо. В случае (7.20) при [J, = 0, помимо двух чисто мнимых корней +ш, имеется еще р — 2 корня с отрицательной действительной частью и q с положительной. В случае (7.21) числа корней с отрицательной и положительной действительными частями соответственно равны р и q — 2. Различение случаев рождения и исчезновения
246 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. 7
периодического движения возможно по так называемой ляпуновской величине g. Вычисление ее достаточно сложно. В случае, когда система дифференциальных уравнений записана в виде
П П
= Х{ (|x) Xi -f (X^j^XjX^ -j- O-ijjisXjX^Xg + . . .,
j,H=l j,h',s=l
(7.23)
где ^ (0) = ico, X2 (0) = —iсо, она равна [57]
& = ®1112 H” ®2221 “Ь ®2122 “Ь ®2212 4 ®1211
JJJ- [(a212 "H a22l) a222 112 "Ь ®12l) ailll
n
(a22>C + Я2к2 + all)C + aifcl) +
+ “*« Klir + a2Kl) (К ~ 2i(°) + akll (a,2k + а1к2) (К И- 2^) .
Xf. + 4oi2
(7.24)
Пусть a ]> 0, тогда при g ]> 0 происходит исчезновение периодического движения и при g 0 — его рождение. При о 0 все происходит наоборот: при ?> 0 — рождение и при g 0 — исчезновение.
Особый интерес представляют бифуркации устойчивого состояния равновесия. С устойчивым состоянием равновесия возможны следующие различные бифуркации:
(9П’° + О71-1’1 —> 0; (7.25)
Оп.0 —> 0"-2,2 _j_ Г™.1, Qn,0 _j_ fn-1,2 On-2,2_ (7.26)
При первой бифуркации устойчивое состояние равновесия Оп,° сливается с седловым O’1-1'1 и они оба исчезают, превращаясь в обыкновенную точку.
При двух следующих бифуркациях состояние равновесия в обоих случаях из устойчивого переходит в седловое и при этом одновременно из него рождается или в нем исчезнет устойчивое Г™’1 или соответственно седловое Г"-1,2 периодическое движение. г
В первом и последнем случаях происходит исчезновение устойчивого установившегося движения, во втором случае такое исчезновение не имеет места, поскольку при этом устойчивое состояние равновесия непрерывно преоб-
