Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
пути немало совершенно новых трудностей. Но не только в этом дело. Конечный итог тоже будет много сложнее, возможно, что он даже настолько сложен, что целесообразно еще чем-то пожертвовать, еще что-то назвать несущественным или принять за излишне детальное.
ГЛ. 71
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
231
После этих общих вводных слов перейдем к изложению накопленных к настоящему времени сведений о многомерных динамических системах. Это изложение, по необходимости выборочное, содержит факты, имеющие наибольшее значение для общего понимания особенностей многомерных динамических систем, трактуемых в первую очередь как особенности структуры разбиения на траектории ее фазового пространства.
Объектом исследования будут динамические системы (Ф, Т) с многомерным фазовым пространством Ф и оператором Т, задаваемым либо дифференциальными уравнениями, либо точечным отображением. Напомним, что в понятие математической модели динамической системы входит: фазовое пространство Ф (как совокупность составляющих его фазовых точек), наделенное естественным понятием близости, возможно, формализованной некоторой метрикой, и однозначный оператор Т, зависящий от параметров tx и t2 (времени) с множеством значений пар (tlt t2) ЕЕ (о (х), которые удовлетворяют следующим предположениям:
1. Т (гь t2)x ее Ф при любых (tlt t2) G= <о (х), х ?= Ф.
2. Если (гь t2) ЕЕЕ ю {х) и (t2, t3) со (Т (?ь t2)x), то (*i> h) Ег со (а:) и для любого х Ф
Т (^i> h)* ~ Т (^2’ h)T (flt t2)x.
Точечное отображение
г = Т (tlt t2)x
трактуется при этом как преобразование состояния х в момент времени в состояние Я в момент времени t2. Подчеркнем, что это определение математической модели динамической системы охватывает как детерминированные системы, так и стохастические [41 ].
Последующее изложение разбито на пять параграфов. Чтение их предполагает большую подготовленность, чем предыдущие главы. Читателю, впервые знакомящемуся с этими вопросами, помимо глав 1—4 настоящей книги, можно посоветовать главу 1 книги [41]. § 3 содержит вспомогательный материал по теории точечных отображений и может читаться независимо. При желании чтение главы можно начать с него. § 4 содержит общее описание и исследование движений в малой окрестности произвольной гомоклинической структуры. Последующее чтение
232 МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 7
предполагает лишь общее знакомство с содержанием устанавливаемых в нем фактов. В § 5 рассматриваются новые для теории колебаний вопросы самогенерацин динамической системой стохастических колебаний. Описываются возможные механизмы возникновения стохастич-ности в динамических системах. Обнаруживается связь между стохастическими колебаниями и гомоклиническими структурами, открытыми еще Пуанкаре. На примерах трехмерных неавтономных систем, близких к двумерным автономным системам, описываются бифуркации, приводящие к стохастизации колебаний.
Читателю, не ставящему целью подробное ознакомление с содержанием этой главы, рекомендуется начать ее чтение с заключительного § 6.
§ 1. Локальное изучение состояний равновесия
и периодических движений
Пусть речь идет о динамической системе, описываемой гладким дифференциальным уравнением
^L = f(x) (x = (xv х2, . . ., хп), f = (fv /2, (7.1)
В малой окрестности каждой своей точки х разбиение фазового пространства Ф в двумерном случае, как уже говорилось, имеет один из видов, представленных на рис. 7.1. В трехмерном случае — один из видов, представленных на рис. 7.4, а — д. В случае произвольной размерности п топологически различных картинок, которые, к сожалению, не могут быть представлены рисунками, будет п + 2. Одна соответствует обыкновенной точке и п + 1 различным типам простых особых точек Ov'q (р =
— О, 1, . . ., п, р + q = п) [44]. Фазовые траектории в окрестности обыкновенной точки подобны пучку параллельных прямых. Окрестность особой точки Ov'q в зависимости от значений р и q имеет один из следующих видов.
При р — п все траектории при t -> +°о стремятся к точке Оп’п, что соответствует устойчивой особой точке. Окрестность точки 0°’п подобна окрестности точки О с заменой времени t на —t. При t —>- —оо все фазовые траектории входят в точку Окп. Точка 0°’п — это неустойчивая особая точка.
Точки Ор'4 при р Ф п, 0 — седловые особые точки. Через седловую особую точку проходят две поверхности
РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
233
Рис. 7.4 а,б
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 1ГЛ. 7
§ 1] РАВНОВЕСИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ 235
Sp и Sq размерностей р и q, составленные из траекторий, стремящихся к точке Ор'4 при t —*¦ +00 и соответственно t —*¦ —00.
На поверхности Sp точка Ov'4 является устойчивой особой точкой Ор’°, а на поверхности Sq — неустойчивой особой точкой 0°'q. Все остальные фазовые траектории проходят мимо точки Ор'4. Наглядно движение фазовой точки можно представить как суперпозицию движений фазовых точек по поверхностям Sp и Sq. При этом имеется в виду следующее. В окрестности точки 0V'q можно ввести переменные и (иг, и2, . . ., ир) и v (иъ и2, . . ., у,) так, что точка Ov'q будет иметь координаты и = 0,у= О, поверхности Sp и Sq — рис 7 5
