Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
ПРОСТЕЙШИЕ У С Т АIЮ И И В Ш И ЕС Я ДВИЖЕНИИ
2«7
(7.36) — конечная, вида
,т_з, Х.-5Ц, . . ., .(’)--i, d’r. (7.37)
При этом точка принадлежит либо одной из поверхностей Oi, либо одному из интегральных многообразий Sq. Аналогично точка хт принадлежит либо одной из поверхностей at, либо одному из интегральных многообразий Sp• Оказывается, что при достаточно малых окрестностях, выделяющих состояния равновесия и периодические движения, ни одна фазовая траектория не пересекает одну и ту же поверхность со дважды. Поэтому в любой последовательности (7.37) общее число точек s -f- г -f- 1 не более некоторого конечного N. Это означает, что всевозможным фазовым траекториям рассматриваемой динамической системы соответствует конечное число различных конечных последовательностей точечных отображений Т (а~ со+), Т (©+ ->¦ со-) и Т (©~ с+). Все
эти последовательности могут быть в принципе найдены следующим образом. Точки каждой из поверхностей а~ преобразуются в какие-то поверхности а] и <»*. В свою очередь каждая из поверхностей преобразуется в какие-то области К ("| as и щ П на поверхностях at и m . Эти области опять преобразуются в какие-то области на поверхностях а и и и т. д., но не более чем N раз. Описанные последовательные преобразования можно изобразить в виде некоторого графа.
Если отвлечься от движений, асимптотически приближающихся к седловым состояниям равновесия и периодическим движениям, то точки каждой из поверхностей аГ после конечного числа преобразований (на более N) перейдут в точки каких-то поверхностей aj. Эти потоки фазовых траекторий от неустойчивых состояний равновесия и периодических движений к устойчивым разделяются в соответствии с описанной схемой и представляющим ее графом сепаратрисными интегральными многообразиями седловых состояний равновесия и периодических движений типов О1’71'1, О"-1,1, Г2’71-1 и Гп_1’3.
Таким образом, мы пришли к описанию структуры фазового пространства рассматриваемого типа динамических систем с помощью конечного числа последовательностей точечных отображений и отвечающего им графа. Это описание дает общее представление о структуре фазо-
268
МНОГОМЕРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 7
вого пространства таких динамических систем и возможных ее бифуркациях, а также указывает некоторый путь фактического исследования.
' Вернемся к доказательству утверждения, на котором основаны изложенные выше общие соображения. Прежде всего введем некоторые определения. Совокупность состояний равновесия и периодических движений и их интегральных многообразий назовем скелетом динамической системы. Замкнутый контур, составленный из фазовых траекторий, конец каждой из которых соединен с началом
следующей, назовем циклом. На рис. 7.27 приведен пример цикла, составленного из трех фазовых траекторий.
Теорема 7.1 [40]. Динамическая система с простейшими установившимися движениями, имеющая конечное число простых состояний равновесия и периодических движений и пересечения интегральных многообразий только общего типа, не имеет циклов.
Рассмотрим произвольный цикл, составленный из фазовых траекторий у1? у8, . . ., "ps, проходимых при возрастании времени в порядке их написания. Тогда фазовая траектория является пересечением интегральных многообразий и Sp{ размерностей qt-x и pt.
В силу предполагаемой общности пересечений интегральных многообразий
Рис. 7.27
S 2] ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 269
где п — размерность фазового пространства. Суммируя все такие неравенства, найдем, что
S
S {Ч\ + Pi) Р®3 $п 4- *'• (7.38)
i—1
С другой стороны, если фазовая траектория yt при возрастании времени является асимптотической к состоянию равновесия, то qt + pt = п, а если к периодическому движению, ТО q( + Pi = п + 1 и поэтому
S
S (?i + Pi)—sn+s~ к, (7.39)
i~l
где у, — число состояний равновесия, участвующих в цикле. Сравнивая (7.38) с (7.39) приходим к выводу, что цикл возможен только при у, = 0, т. е. он может быть составлен только из фазовых траекторий, асимптотических к седловым периодическим движениям. Однако, как будет показано в дальнейшем, динамическая система с циклом такого вида имеет бесконечное число периодических движений и движений, отличных от асимптотических, к состояниям равновесия и периодическим движениям. Тем самым теорема доказана.
Теперь перейдем к доказательству требуемого утверждения об отсутствии фазовых траекторий, дважды пересекающих достаточно малую окрестность седлового состояния равновесия или периодического движения. Так как это утверждение лежит в основе сводимости исследования рассматриваемых динамических систем к рассмотрению конечного числа последовательностей точечных отображений, то сформулируем это утверждение в виде следующей теоремы.
Теорема 7.2. Исследование фазовых траекторий динамической системы, о которой шла речь в теореме 7.1, сводится к рассмотрению кусочно-гладкого точечного отображения поверхностей без контакта оч неустойчивых состояний равновесия и периодических движений в поверхности без контакта а;- устойчивых состояний равновесия и периодических движений (рис. 7.28).
