Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Агк\ - Я2 __ п\ — к\ п\-~к\ ~ AJcl-Bi ’
Щ — Вг ^ п\-к\
(5.49)
( ! = акл cos (kxt -f- Pj) bk2 cos (k2t -f- p2),
^ 2 == cos (kxt -j- Pi) a2bk2 cos (k2t -I- p2)
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
147
a sin (kjt + Pi) + Ь sin (k2t -f p2) -f «Pi cos (kxt -f px) -f
+ b$2 cos (k2t + p2) = 0, (5.51)
axa sin (kxt -f px) + a2b sin (k2t -f p2) -f o^af^ cos (kxt -f px) -f
-f- a2b$2 cos (k2t 4- Рг) — 0- (5.52)
Если теперь продифференцировать по времени дг и gt и подставить полученные выражения для и д8 в уравнения (5.46), приняв при этом во внимание соотношения
(5.49), то будем иметь
akj^ (l-fa^) cos (A^-f Pi) -f bk2 (1 -f a.^^cos (M + P2) —
— кха^х (1 + aXAX) sin (kj -f px) —
— А:2б'Р2 (1 4- a2AX) sin (k2t -f P2) = ц/*, (5.53)
акг (аг + A 2) cos (kj -f Pi) -f
+ Ьк2(а2 +A 2) cos (k2t -f p, )—k1a$1 (o^-f A2) sin (A^-f px)—
— k2bfi2 (a2 4- A~) sin (k2t + p2) = fig*, (5.54)
где /*
f [a sin (kjt 4- Pi) + b sin (k2t -f p2),
ak1 cos (kxt + Px) 4 bk2 cos (k2t 4 P2), axa sin (kxt -f px) -f a2b sin (k2t -f p2),
a^a cos (kxt -f px) -f a2lc2b cos (k2t -f p2)], g* = g [a sin (k^t 4- Pi) 4- b sin (k2t -f p2), (5.55)
akx cos (kxt 4- Pi) + bk2 cos (k2t -f P2), a]a sin (kxt 4- Pi) + a2b sin (k2t 4- Рг);
a^a cos (k^ -f px) -f a2k2 b cos (k2t -f p2)].
Уравнения (5.51)—(5.54) являются системой уравнений для определения a, b, и 6р2. Решая эти уравнения относительно а, найдем
da ____ А1
dt Д ’
где определитель системы
sin 5 sin г) cos 5 cost)
д____ сц siu i; a2 sin T] cos 5 a2 cos T]
~ k1D1coT,l, кгИгcost) —/txDisin^ —/c2D2sinr) kiD3 cos i; k2Dicosij —&iD3sini; — /c2D4 siarj
= кхкго (a2 — aj2,
Ai=
148 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Dx = 1 + ахАх, D2 = 1 + а2Ах, Da = аг + А2,
D/x — сс2 -J- А2, ? = kyt -f- Р1; т] = k2t -J- Рг>
О sin г) cos 5; cos tj
О аг sin т] ai cos % a2 cos r) ______
/* k2D2 cost} —kxDx sin 1; — fc2Z>2sinTi jig* k2Di cost) — Tessin ? — fc2Z>4sinTi
= [i (a2 — ax) k2 [(a2 + A2) f* — (1 + a2AJ g*] cos g.
Следовательно,
-ЗГ = kxs^- ax) ^ 1* ~ ^ + **Ai) ^ C0S ^
(5.56)
Используя выражения (5.49), получаем
(k\-k\) (Агп\-Вг)
a, — a.
Л2ге| — B2 п] —
а2 + Л2 = 2 _ 'Г ’ 1 +Мг " гез_“^-------•
п% "2 2 2
Иэ выражения (5.48) следует, что
(&1 "Ь ^-г) = га1 "Ь П2 - А 1^2 - -^2^1’
тогда
+ 2 1 I»*-*» V +oJ— •
Подставляя полученные выражения для a2 — alt а2 + Л2, 1 + °^i в выражение (5.56) и учитывая (5.49), имеем
- ».>**] “»«•
Аналогично получим
¦%-=- г^Ь|г [ ^ /*+- «.) «*]ч.
“т = - Г + - в.),.] „„ 1,
, dp2 |i Г Агк\ — Вг
dt
**, (4Г4Г I* + <А&~ "¦> «¦*] sin 1'
§ 3] СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 149
Полученные уравнения представляют собой преобразованную к другим переменным систему уравнений (5.46). Предположим, что изменение а, Ъ, рх и р2 происходит значительно медленнее по сравнению с колебаниями, происходящими в исходной динамической системе. Усредняя правые части полученных уравнений за периоды 2я/7сх и 2я/к2, получим для определения а, Ъ, рх и ра следующие укороченные уравнения *):
" = о., ia- I «I h + Wi- fl.) Ц, j ¦
(5.57)
¦ Вг) G3] ,
(5.58)
dt 2(k\-k\) L ----F,
«1 1
db V- Г ^2^2 ---
dt 2 k2s{k\-k\) L «2
«»Pi _ r AJt\ - B2
dt 2ак1ф^-к\) L «1
df52 ц Г A'Jii --- В2 ^
dt 2sk2b (k\ --- k\) L «2
где
2 П 2 Jt
^1=:=2^$ § f*cos%d%dr\, = S g*cos%dldr\,
0 0 0 0
2 Jt 2Я 2Я 2Я
S /*C0STl^dTl’ G2= S g*cosridgdri,
0 0 0 0
(5.59)
