Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
-ctgd _ 1-ьin/1 /+sinA
CDSz) COS zl
Рис. 5.9
I’m:. 5.HI
Из рассмотрения этих рисунков следует, что при Д = 0 резонансные кривые симметричны относительно оси р. При А Ф 0 эта симметрия нарушается, т. е. запаздывание вызывает сдвиг резонансных кривых. Как видно из рис. 5.10, при А'2 А\ часть резонансной кривой, соответ-ствующая устойчивым состояниям равновесия и, следова~
§ 21 НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 137
тельно, периодическим колебаниям с частотой внешней силы, расположена над кривой q = 0 и прямой р = 0. Следовательно, захватывание имеет место для ?, удовлетворяющих неравенству
2 sin Д — 4А3 — cos3 Д ^ ~ 2 sin Д + ]/"4Л2 — созг Д
cos Д \ ь ^ cog д
При А{ <С А'2 •< А1, захватывание имеет место для
cos Д sin А — (1 — А2) 2 sin Д + ][4.4- — cos2 Д
cos2 Д — А3 ^ ' cos Д
Наконец, при 0 •< A2<^Af захватывание произойдет при
cos Д sin Д—|ЛЛ2(1— Л2) ^ г ^ cos Д sin Д + \f А3 (1—А2) cos2 Д — А3 <?<. eos2 Д — А3 -
Перейдем теперь к выяснению механизма захватывания. Ограничимся рассмотрением случая слабых сигналов (А С (cos А)/2).
Из первого уравнения системы (5.32) следует, что при достаточно больших р производная dp/dx1 < 0, т. е. бесконечность неустойчива.
Особые точки системы на плоскости ху в соответствии с уравнениями (5.32) определяются пересечением кривых
— р2 — Ах + р cos Д = 0,
— ?р2 + Ay -f р sin Д = 0.
Так как х = р cos О, у = р sin О, то уравнение первой кривой, не зависящее от ?, имеет вид
р = cos Д — A cos О. (5.40)
Уравнение второй кривой
sin Д А . „ ,г , ..
р = —=— -|—p-sind. (5.41)
ъ Ь
На рис. 5.11 даны кривые (5.40) и (5.41) для А = = 0,2 и различных ?. В соответствии с рис. 5.12, построенным для тех же значений А и Д, можно сказать, что при ? = tg Д имеются три особые точки: одна — устойчивый узел, вторая — седло и третья (х = 0, у — 0) — существенно особая точка.
При tg Д < ?, < ?3 и ?4 < ? < tg Д имеются также три особые точки. При ? = ?3 и ? = устойчивый узел
138 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
и седло сливаются в одно состояние равновесия. Точка х = 0, у — О остается.
При ? ?3 и ? <[ ?4 имеется только одна особая точка
х = 0, у = 0. Для выяснения характера этой особой точки рассмотрим первое уравнение системы (5.32)
—-= — р — A cos ft 4- cos Д.
d,X\
Если А < cos Д, то можно подобрать такое р,, при котором
Pi С cos А — A cos ft;
тогда для всех р С Pi будет dpj/dxj 0. Это означает, что окружности р = с (с < pi) образуют вокруг точки х = 0, у = 0 систему циклов без соприкосновений, т. е. систему
замкнутых кривых, в каждой точке которых вектор фазовой скорости направлен наружу. Следовательно, из точки х = 0, у = 0 все траектории выходят при возрастании Tj. Так как это происходит при А < cos Д и любых ?, то можно утверждать, что характер точки х = 0, у = 0 не меняется при слиянии двух других особых точек.
Для доказательства существования и единственности предельного цикла на плоскости ху, а также для установ-
НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
139
ления границ его расположения воспользуемся методом кривой контактов и теоремой Пуанкаре — Дюлака.
Вначале кратко изложим сущность метода кривой контактов [4]. Пусть дано семейство замкнутых непересекаю-щихся кривых, сплошь заполняющих плоскость
F (х, у) = С. (5.42)
Назовем эту систему кривых топографической системой. Назовем кривой контактов кривую, являющуюся геометрическим местом точек соприкосновения кривых топографической системы с интегральными кривыми. Выберем топографическую систему таким образом, чтобы кривая контактов была замкнутой; проведем наибольшую и наименьшую
Рис. 5.12
кривые топографической системы, касающиеся кривой контактов. Очевидно, что все кривые топографической системы, лежащие вне такой наибольшей кривой и внутри наименьшей кривой, будут циклами без соприкосновений. Таким образом, если предельные циклы существуют, то они расположены в кольцеобразной области, ограниченной двумя выбранными кривыми топографической системы. Достаточным условием существования по крайней мере одного цикла будет условие, чтобы вектор фазовой скорости на выбранных кривых топографической системы был направлен или везде наружу, или везде внутрь соответствующей кольцеобразной области.
Пусть динамическая система описывается уравнениями
140 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. 5
В силу уравнения (5.42) имеем
dF dx дР q
дх dy ' ду
