Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
При состояний равновесия три: ус-
тойчивое состояние равновесия р = 0, неустойчивое состояние равновесия, соответствующее нижней ветви параболы (5.22), и устойчивое состояние равновесия, соответствующее верхней части параболы (5.22). На фазовой
плоскости q это соответствует устойчивой особой точке
в начале координат, неустойчивому предельному циклу и устойчивому предельному циклу. Таким образом, для начальных условий, лежащих внутри неустойчивого предельного цикла, колебания динамической системы затухающие. При начальных условиях, расположенных вне этого цикла, устанавливаются автоколебания. При а О состояние равновесия в начале координат неустойчиво и при любых начальных условиях устанавливаются устойчивые автоколебания (см. рис. 5.5).
Заметим, что при -у- а 0 динамическая система
может находиться в равновесии или совершать автоклеба-ния. Следовательно, если она находится в покое, то мы, сообщив ей достаточно большую скорость, можем привести ее в режим автоколебаний.
Проследим, как возникают автоколебания при изменении а от отрицательных значений к положительным. Пусть при а < 0 динамическая система находится в устойчивом состоянии покоя, при а = О возникнут автоколебания конечной амплитуды. Далее, при увеличении а амплитуда колебаний будет постепенно нарастать. Такой режим возникновения автоколебаний называется «жестким» режимом. При обратном изменении а — от положительных к отрицательным — амплитуда автоколебаний постепенно
9 В2
уменьшается и при а = -у- автоколебания прекратят-
ся (при конечной амплитуде), а система придет к устойчивому состоянию равновесия.
Следовательно, возникновение и исчезновение автоколебаний происходит при различных значениях параметра а, который часто называют коэффициентом возбуждения.
Мы не будем приводить здесь исследования случаев р < 0, а > 0 и р 0, у > 0, которые проводятся аналогично. Отметим только, что в этих случаях при определенных значениях в динамической системе могут возникнуть неограниченно возрастающие колебания. Однако неогра-
§ 2]
НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
129
ниченное возрастание колебаний требует неограниченного поступления в систему энергии извне, но это практически невозможно. Следовательно, в этих случаях приближение, взятое при разложении Тх (и + х), недостаточно и нужно учитывать члены более высоких порядков.
§ 2. Неавтономные квазилинейные динамические системы с одной степенью свободы
Рассмотрим движения неавтономной квазилинейной динамической системы вида
Предположим, что нелинейная функция /, (g, q, t) является периодической функцией по переменной t с периодом 2л/р, т. е.
Введя «безразмерное время» % = pt и обозначив к%= = сп/ап, перепишем уравнение (5.24) в виде
В дальнейшем будем рассматривать случаи, когда отношение (к2 — р2)/р2 имеет порядок малого параметра (х, т. е.
где ? — так называемая расстройка — параметр, характеризующий различие между величинами к и р. Используя соотношение (5.25), уравнению движения можно придать вид
«и? + спЯ = МЛ (Я, Я, t).
(5.24)
(5.26)
где функция
dq X dx ’ р
обладает свойством периодичности по т:
5 Н. В. Бутенин и др.
130 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 1ГЛ. 5
При (.1 = 0 уравнение (5.26) имеет решение
q — a cos т + b sin т. (5.27)
Если искать решение уравнения (5.26) при ц ф 0 в виде (5.27), считая а и b медленно меняющимися функциями времени, то, поступая аналогично тому, как это было сделано в § 1 гл. 5, получим для нахождения а и b укороченные уравнения вида
da
dx
2 л
=--------—• ^ Да cost+ Ь sin т,— а sin т + Ь cost, *t) sin т dx,
о
2Л
^ / (а cos т + Ъ sin т, — a sin т + b cos т, т) cos т dx.
(5.28)
Заметим, что система уравнений (5.28) является автономной. В частном случае, когда
f (?’ "ЗГ ’ т) -¦= * (9’ ~w) + А°sin т>
уравнения (5.28) имеют вид
2 Л
da цЛ0 Ц , ,
тг -2-------ЙГЗ 1Иас08Т +
и
+ b sin т, — a sin т + b cos т) sin xdx,
2Л
^ г); (a cos т + Ъ sin т, — a sin т + Ь sin т) cos т dx.
(5.29)
В качестве первого примера на применение полученных уравнений рассмотрим задачу о действии внешней синусоидальной силы на автоколебательную систему. Это рассмотрение связано с одним из интересных и важных свойств автоколебательных систем — явлением принудительной синхронизации, которое иногда называется захватыванием. Это явление заключается в том, что при достаточно малой разности между частотой автоколебательной системы и частотой внешней силы устойчивое периодическое движение системы приобретает частоту внешней силы. Основ-